Python练习——判断正整数是否为质数的三种方法

判断正整数是否为质数的三种方法

本文参考《如何判断一个正整数是否为质数的三种方法 | 附Python程序》结合自身理解，作为笔记发布。如果对你有帮助，点赞关注哦！

一、基本概念

质数（又称素数）： 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。按照规定，1不算素数，最小的素数是2，其后依次是3、5、7、11等等。

我们可以发现其中有些质数紧紧挨在一起（中间只隔了一个数），而且成对出现，我们称作孪生质数：

综上所述，我们可以初步得出质数规律：

大于等于5的质数，均分布在6及6的倍数的两侧

二、python代码

1）定义判断法：

根据定义，因为质数除了1和本身之外没有其他因数，所以判断n是否为质数，根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的因数即可：

def hasPrime(num):
    if num > 1:
        for j in range(2, num):
            if num % j == 0:
                return False
        else:
            return True
    else:
        return False

2）定义法改进：

定义方法，明显存在效率极低的问题。对于每个数n，其实并不需要从2判断到n-1，我们知道，一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)，据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧找不到因数，那么右侧也一定找不到因数。

def isPrime_1(num):
    if num == 2 or num == 3:
        return True
    elif num > 4:
        #优化定义法检验
        for j in range(2, int(sqrt(num))+1):
            if num%j == 0:
                return False
        else:
            return True
    else:
        return False

3）质数规律判断法

还记得质数规律吗？
大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等。

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······6x-2，6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6x+6，6x+7······
也就是
······2(3x-1)，6x-1，6x，6x+1，2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，6x+5，6(x+1)，6(x+1)+1······

可以看到，不在6的倍数两侧的数（除了6x-1，6x+1），即6x+2，6x+3，6x+4······，提取公因数后：2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，能被2整除，所以它们一定不是质数，同时6x本身也非质数。显然，素数如果出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数，但是不在6的倍数的两侧一定不是质数。

根据以上规律，判断质数可以6个为单元快进，即将方法（2）循环中i++步长加大为6，加快判断速度，代码如下：

def isPrime(num):
    if num == 2 or num == 3:
        return True
    if num % 6 == 1 or num % 6 == 5:
        for i in range(2, int(sqrt(num))+1):
            if i % num == 0:
                print(i)
                return False
        else:
            return True
    else:
        return False

三、知识拓展

通过调用以上函数，我们可以写出输出某个范围内质数的程序。然而，同时存在两种算法可直接输出给定值的所有素数。有幸读到质数判定和质数筛法一文，其中很详细的介绍了两种筛选质数的方法：埃拉托色尼筛选法/埃式筛法，线性筛法/欧拉筛法。本文不再赘述，做知识的搬运工，感兴趣的朋友可移步学习，欢迎留言讨论！

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