数学建模 层次分析法
一、层次分析法（适用于评价类问题，可用打分解决）
1.权重表格
| 指标权重 | 方案1 | 方案2 | …… | |
|---|---|---|---|---|
| 指标1 | ||||
| 指标2 | ||||
| 指标3 | ||||
| …… |
2.问题：评价目标，可选方案，评价指标（背景材料，常识，网上搜集）
3.确定指标的权重：分而治之，两两比较推算权重
4.重要程度表格
| 标度 | 含义 |
|---|---|
| 1 | 表示两个因素相比，具有同样重要性 |
| 3 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 |
| 5 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 |
| 7 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 |
| 9 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 |
| 2, 4, 6, 8 | 上述两相邻判断的中值 |
| 倒数 | A和B相比如果标度为3，那么B和A相比就是1/3 |
填表得到nn表格，有以下特点：（1）aij表示的意义是，与指标相比，的重要程度。（2）当 = 时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。（3）ij>0且满足ijaji=1(我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）
实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。
5.得到判断矩阵，计算出权重。在同一因素下，填写不同方案的判断矩阵。有可能出现矛盾之处。
6.一致矩阵：aik=aij*ajk 各行各列之间成倍数关系。一致矩阵有一个特征值n，非一致满足特征值大于n。
判断矩阵越不一致，最大特征值与n相差越大。
7.一致性检验的步骤
第一步：计算一致性指标CI
CI=（最大特征值-n）/（n-1）
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| RI | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
第三步：计算一致性比例CR
CR=CI/RI
如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对 判断矩阵进行修正。
8.判断矩阵计算权重
算术平均法：第一步：将判断矩阵按照列归一化 （每一个元素除以其所在列的和） 第二步：将归一化的各列相加(按行求和) 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量。
几何平均法：第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量 第二步：将新的向量的每个分量开n次方 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量·
特征值法求权重：第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重。
9.汇总结果得到权重矩阵，计算各方案的得分
总结
\1. 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构. 如果你用到了层次分析法，那么这个层次结构图要放在你的建模论文中。
\2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
\3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重， 并进行一致性检验（检验通过权重才能用）.三种方法计算权重：（1）算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法。在比赛时三种方法都使用：
注：以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法 求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的 稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得 到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了 采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。
注：（1）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验；（2）在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算权重。
CR>0.1 往一致矩阵上调整，各行成倍数关系。
4 . 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。
MATLAB基础
\1. Matlab基本的小常识 分号的作用、注释的快捷键、clc和clear、disp和input
(1)在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子；)表示不显示运行结果
(2)多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R
(3)取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T
clear;clc这两条一起使用，起到“初始化”的作用，防止之前的结果对新脚本文件（后缀名是 .m）产生干扰。
\2. sum函数
% （1）如果是向量（无论是行向量还是列向量），都是直接求和
（2）如果是矩阵，则需要根据行和列的方向作区分
a=sum(x); %按列求和(得到一个行向量）
a=sum(x,2); %按行求和(得到一个列向量）
a=sum(x(:));%对整个矩阵求和
a = sum(sum(E))
a = sum(E(:))
\3. Matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
（1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）
A(2,1)
（2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）
A(2,:)
（3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）
A(:,1)
（4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）
A([2,5]，：) % 只取第二行和第五行（一共2行）
A(2:5,:) % 取第二行到第五行（一共4行）
A(2:2:5,:) % 取第二行和第四行 （从2开始，每次递增2个单位，到5结束）
A(2:end,:) % 取第二行到最后一行
A(2:end-1,:) % 取第二行到倒数第二行
（5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)
A(：)
\4. size函数
size(A)函数是用来求矩阵A的大小的,它返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
[r,c] = size(A)
将矩阵A的行数返回到第一个变量r，将矩阵的列数返回到第二个变量c
r = size(A,1) %返回行数
c = size(A,2) %返回列数
\5. repmat函数
B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。
\6. Matlab中矩阵的运算(加点和不加点)
\7. Matlab中求特征值和特征向量
在Matlab中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：
% （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
E=eig(A)
% （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
[V,D]=eig(A)
\8. find函数的基本用法
find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：
ind = find(X,2)
上面针对的是向量（一维），若X是一个矩阵（二维，有行和列），索引该如何返回呢？
ind = find(X)
这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，我们可以做一下验证：
X(4)
假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢？
[r,c] = find(X)
[r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素
\9. 矩阵与常数的大小判断运算
\10. 判断和循环语句
代码
%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
%% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
%% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。
%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。
%% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)
[n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1) %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：
SUM_A = [];
for i = 1:n %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）
%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加 dim = 2 维度是行
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
%% 方法3：特征值法求权重
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A) %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end
代码优化：
（1）请对代码进行优化，例如输入判断矩阵A时，是否能自动检查 矩阵A是否为正互反矩阵？ （2）如果我们输入的是一个二阶的判断矩阵，请观察结果有什么问 题？怎么改进代码来修正这个问题。