[CodeForces #80 Div 1 D] 分块+树状数组/线段树

Part 1 题解

题意

给出一个长度为 N(≤300000) 的数列 ai ，再给出 M 个询问，每个询问是形如 (x,y) 的形式，你需要输出 ax+ax+y+ax+2y+...+ax+ky 的和，其中 x+(k+1)y>N 。

分析

PS：这道题的做法是对大小进行分块

对于每个询问，首先我们想到的方法是依次将 ax ， ax+y ，…， ax+ky 来相加。
但是这样会TLE。

我们应该想一下出现超时的原因，并从这方面加以改进。
超时的原因： y 可能非常的小，加的次数非常的多。

那么我们可以设一个数 T=H(n) ，即 T 是 n 的一个函数。
对于 y>T ，直接使用上述方法，时间复杂度为 O(n2T) ；
对于 y<T ，要想出另外一种方法。

y 小带来的特殊性就是可以存储下来预处理而不使空间太大。
我们先预处理出 ans[x][y] 表示询问 (x,y) 的答案。
具体的做法是枚举每一个 y ，然后将 x 从大到小枚举递推答案，则有：
ans[x][y]=ans[x+y][y]+a[x] 。
预处理的时间复杂度为 O(nT) ，查询一次的复杂度为 O(1) 。

所以总的时间复杂度为 O(nT+n2T) 。
当 nT=n2T 即 T=n√ 时，取得最小值。
所以总的时间复杂度为 O(nn√) ，空间复杂度为 O(nn√) 。

Part 2 变式一

题目

给出一个长度为 N(≤300000) 的数列 ai ，再给出 M 个操作：
① A x d：将 ax 加上 d ；
② Q x y：询问 ax+ax+y+ax+2y+...+ax+ky 的和，其中 x+(k+1)y>N 。

分析

在原题的基础上，只需要对操作①进行维护即可。

对于操作① A x d：
首先将 ax 赋值为 ax+d 。
然后考虑 ax 的改变对于 ans[i][j] 的影响。

我们枚举 j 。
对于相同的 j ，所有 k<i 且 i 与 k 关于 j 同类。都有 ans[k][j] 增大了 d 。

不属于这个类的，统计的时候也不会用到。
那就是——区间增值？
当然可以。

我们对每个 T 开一个树状数组，对于操作A x d，枚举所有的类 1 到 T ，然后将这个类的前 x 位都增大 d 即可。

当 T=n√ 时，总的时间复杂度为 O(nn√logn) 。