离散数学笔记（期末复习用，持续更新…）
离散数学（又称计算机数学）是现代数学的重要分支，是计算机专业课程中的核心基础课程之一。
课程主要分四块：
• 第一部分 数理逻辑（第1章：命题逻辑、谓词逻辑）
• 第二部分 集合论（第2章：集合；第3章：二元关系；第4章：函数）
• 第三部分 代数系统 （第5章:无限集合；第6章：代数； 第7章：格和布尔代数）
• 第四部分 图 论 （第8章:图论）
目录
一、数理逻辑
1.1 命题逻辑
1.1.1 命题及其表示
1.1.2 命题公式
1.1.3 等价和蕴含
1.1.4 范式、主析取范式和主合取范式
1.1.5 推理理论
1.2 谓词逻辑
1.2.1 谓词和量词
1.2.2 谓词演算的永真式
一、数理逻辑
1.1 命题逻辑
1.1.1 命题及其表示
命题是陈述句，而不能是疑问句、命令句、感叹句等；命题真假用真值“真假”、“T，F”或“1，0”表示；
命题必须有真假，命题通常用大写英文字母表示，如 P、Q、R等。
命题联结词（否定，合取，析取，蕴含和等值）
否定，合取及析取容易理解；
蕴含词：稍加注意的地方是：P→Q，P 称为蕴含前件、条件、前提；Q 称为后件、结果、结论。
当且仅当 P 为真，Q 为假时，P→Q 为假；否则， P→Q 均为真。真值表如下：
可以证明：
等值词：当且仅当P、Q的真值相同，即同为真或同为假时 P↔Q 为真；否则， P↔Q 为假。
1.1.2 命题公式
定义：由命题变元、常元、联结词、括号，以规定的格式联结起来的字符串。
注意：几元函数是由命题公式中命题变元个数决定的，例如P→ Q，两个变元就是2^2=4组真值指派；公式P→ (Q→ R) 可定义三元函数，这样真值表中就要列出2^3=8组真值指派。
《定义》：如果一个命题公式 A 的所有完全指派均为成真指派，则称公式 A 为重言式(永真式)。
《定义》：如果一个命题公式 A 的所有完全指派均为成假指派，则称公式 A 为矛盾式(永假式)。
《定义》：既不是永真式，又不是永假式，则称此命题公式是可满足式。
1.1.3 等价和蕴含
《定义》：如果对两个公式Ａ，Ｂ不论作何种指派，它们的真值均相同，则称Ａ，Ｂ是逻辑等价的，亦说Ａ等价于Ｂ，记A⇔B.
例题：
定理：命题公式A⇔B的充要条件是A↔B为永真式。
等价式的性质：
1）自反性: A ⇔ A.
2）对称性: A ⇔ B，则 B ⇔ A.
3）传递性: A ⇔ B， B ⇔ C，则 A ⇔ C.
下面列出17组等价公式:
这十七个等价公式要记得，在后面的等价关系证明中要用到，用真值表有点麻烦（如果变元>=3，建议用公式替换化简），下面给几个例题练习下：
*还有对偶式的原理和求解，这个理解下就可以了：（注意式中如有→，⇔将其化成由联结词Λ，∨和﹁；并且括号不能去掉）
永真蕴含式
《定义》：命题公式Ａ称为永真蕴含命题公式Ｂ，当且仅当Ａ→Ｂ是一个永真式，记作：Ａ=>Ｂ.
《定理》：给定命题公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若Ａ=>Ｂ，且Ｂ=>Ｃ，则Ａ=>Ｃ。
《定理》：给定命题公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若A=>B、A=>C，则 A => BΛC
例如 证明：Ｐ=> Ｐ∨Ｑ； ＰΛＱ => P。
下面给出13组常用的永真蕴含式：
1.1.4 范式、主析取范式和主合取范式
如何判定命题公式为永真式、永假式和可满足的呢？如何判定两个命题公式等价？(1)真值表法；(2)命题演算方法；(3)范式方法
范式：把命题公式化归为一种标准的形式，称此标准形式为范式。
（一）、范式：析取范式和合取范式：
设命题变元为：Ｐ、Ｑ、Ｒ，
则：析取式（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）称为“和”；合取式（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ）称为“积”。
析取范式和合取范式的定义如下：
求公式的析取范式和合取范式的步骤：
(1)利用等价公式，化去联结词“→”、“⇔” ，把命题公式变为与其等价的且用{﹁ ，∧，∨}表达的公式；
(2)将“﹁”深入到原子命题变元之前，并使变元之前最多只有一个“﹁”词；
(3)利用“∧”与“∨”的分配律，将公式化为析取范式（合取范式）。
(4)去掉永假项（永真项）得最简析取范式（最简合取范式）。
例题：
（二）、主析取范式和主合取范式
主析取范式：
《定义》给定一命题公式，其仅含有极小项析取的等价式称为给定命题公式的主析取范式。在真值表中，一个公式的真值为Ｔ的指派所对应的极小项的析取，即为此公式的主析取范式。
主合取范式：
《定理》在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对应的极大项的合取，即为此公式的主合取范式。在真值表中真值为“Ｆ”的个数等于主合取范式中极大项的个数。
求解主合取范式和主析取范式时，可以通过真值表（前提变元<3的情况下，不然列出来很麻烦）
例题：求解下列各式的主析取范式和主合取范式（考试只考到3个变元的）
1.1.5 推理理论
直接证法：
•P 规则：在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
•T 规则：在推导过程中，如果前面有一个或多个命题公式永真蕴含命题公式 S，那么就可以把公式 S 也引入到推导过程之中。
•置换规则：在推导的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等价的公式置换。
间接证法：
1.2 谓词逻辑
1.2.1 谓词和量词
（1）个体
《定义》原子命题中表示主体或客体的词，称为个体。通常用a，b，c，…表示。个体它可以是独立存在的人或物体，也可以是
抽象的概念。
注： 个体域（论域）：个体变元的取值范围。
- ①个体域可以是有穷集合，也可以是无穷集合。
- ②全总个体域：宇宙间的一切对象组成的集合。
- ③其它任意个体域都是全总个体域的子集。
- ④如无特别说明，所采用的都是全总个体域。
（2）谓词
《定义》用以刻画个体的属性或个体之间关系的模式，称为谓词。通常用大写字母 F，G，H，…表示。例如 张华是大学生。
- 一元谓词：与一个个体相关联的谓词。
- 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。
- 一般的，把与 n 个个体相关联的谓词称为n元谓词。
（3）命题函数
《定义》一个谓词 F 后填上相关联的 n 个个体变元所得的表达式 F(x1 , x2 ,…, xn )，称为 n 元简单命题函数。
例如：
F(x) ： x 是质数。 （一元命题函数）
H(x , y)： x 大于 y。（二元命题函数）
显然，F(x)，H(x , y)都不是命题，因为它们的真值无法判断。但若令 a：2， b：3 ，则
F(a) ： 2 是质数，这是个真命题，它的真值为真。
H(a,b)：2 大于3，这是个假命题，它的真值为假。
（4）量词
将命题符号化
个体域有两类：
-
特殊指定。（所有老虎组成的集合）则这时只 需对个体的属性进行谓词表示。
-
全总个体域。则还要运用特性谓词来限定研究的对象，即把研究对象从全总个体域中分离出来。没有指定个体域的话默认都用全总个体域
再看个二元命题的情况
（5）谓词公式
举一些例子就可以理解拉。将命题翻译成谓词公式
（6）变元的约束
1.2.2 谓词演算的永真式
谓词逻辑里也有谓词公式的等价与蕴含（跟命题逻辑一样）
（1）谓词演算的等价式
- 命题逻辑中等价式的推广
- 消去量词等价式
- 含有量词的等价式
（2）谓词演算的永真蕴含式
（3）含有多个量词的永真式
异名量词出现的次序直接关系到命题的含义：
（4） 前束范式
《定义》一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末尾，则称此公式叫前束范式。
《定理》任何一个谓词公式均与一个前束范式等价。且前束范式分为前束合取范式和前束析取范式。
