叉积、线段相交判断、凸包

一、叉积

叉积的计算是线段方法的核心。对于向来p1和p2，叉积是由点(0,0)、p1、p2和p1+p2构成的平行四边形的有向面积。另一种与之等价但更有效的的叉积定义方式是将其看做矩阵行列式：

p1×p2 = x1y2 - x2y1 = - p2×p1

若p1×p2为正，则相对于原点(0,0)来说，p1位于p2顺时针方向；若p1×p2为负，p1位于p2逆时针方向；若为0则方向相同，或相反。

若是相对于点p0(x0,y0)而非原点，则p0p1和p0p2的叉积为(p1-p0)×(p2-p0) = (x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0)。

确定连续线段是向左转还是向右转

对于线段p0p1和p1p2，采用叉积可以避免计算角度，只需简单的计算一下p0p2是位于p0p1的顺时针还是逆时针方向。计算叉积

(p2-p0)×(p1-p0) = (x2-x0)(y1-y0) - (x1-x0)(y2-y0)

若结果为负，p0p2在p0p1的逆时针方向，在p1处左转；结果为正则右转；为0表示三点共线。

判断两条线段是否相交

要判断两条线段是否相交，则需要检查每条线段是否跨越了另一条线段的直线。如果点p1位于某直线的一边，而点p2位于该直线的另一边，则称p1p2跨越了这条直线。两条线段相交，当且仅当下面两个条件至少成立一个：

1. 每条线段都跨越了包含另一条线段的直线

2. 一条线段的一个端点落在另一条线段上

二、确定任意一对线段是否相交

给定一个线段的集合，仅仅判断是否有两个线段相交，不必输出所有相交的线段对。此处我们假设，线段均不垂直。

我们使用“扫除”算法来解决这个问题。在扫除过程中，一条假想的扫除线穿过一个给定的几何物体集合，会与集合中的部分线段相交。下图中扫除线r与线段a、c相交，且与a的交点的y坐标值大于c的，则认为此处a>c。

在图(a)中，在r处，a>c；在t处，a还是>c，那么我们认为a和c没有相交。而在图(b)中，在v处，e>f，而在图w处，f>e，故e和f相交。

上图描述了一个算法，我们按照线段端点的x坐标，从小到达，进行“扫除”。当在一个线段的左端点扫除时，将所有相交的线段序列按序放入一个“完全前序关系T”中。当扫到线段的右端点时，从T中去除该线段。但是，如果位于在该线段上方的线段集合，与位于该线段下方的线段集合有交集，则表明有线段相交。

关键在于，如果存储T，如果求交集。可以用红黑树来存储T。

算法步骤

1. 初始化T为空集

2. 对线段的端点排序

3. 在端点p处，开始扫除，从最左边的处开始

    如果p是线段s的左端点

        Insert(T, s);

            如果有线段在扫除线处相交

                return true;

    如果p是线段的右端点

        如果above(T, s) 和 below(T, s)有交集，则

            return true;//即线段集中存在线段相交

        无交集则，Delete(T, s);

4. return false

三、寻找凸包

点集Q的凸包，是一个最小的凸多边形P，满足Q中的每个点都在P的边界上，或者在P的内部。

Graham扫描法: 复杂度O(nlogn)

1. 选取y最小的点，多个y最小的话，选取其中x最小的点，作为p0
   

2. 剩余的点，按照p0和pi的极角的逆时针排序，编号为p1,p2,...,pm

3. 如果m小于2，表示点数小于3，形不成多边形

4. 设定以空栈S，将p0、p1、p2压入栈中。

5. for i=3 to m

   1. 得到栈顶的2个点pi-1和pi-2，如果t1t0向t0pi转的时候，不是左转，就把顶点t0出栈；

   2. 如果出栈了t0，就继续a，直到栈的顶点不再出栈位置

   3. 将pi入栈
      

6. return S

图中，从a到f是一步一步选择的过程。

Jarvis步进法：复杂度O(nh)，h是凸包顶点数

先找到最下边结点里最左边的点p0，然后寻找使得p0p1极角最小的点，则p1也是凸包顶点；继续寻找使得p1p2极角最小的点，直到达到最高点pk，上图是p3，此时已经构造好了CH(Q)的右链。为了构造左链，寻找pk+1使得pkpk+1极角最小，但此时x轴啊原x轴的负方向。

除此之外，还有增量法、分治法、剪枝-搜索方法，其中剪枝-搜索方法复杂度为O(nlgh)。