Binary Indexed Tree(二进制索引树、树状数组)

今天在刷leetcode时遇到了一道可以使用Binary Indexed Tree的题，以前未接触过，记下来以便以后复习

Binary Indexed Tree(树状数组)是一种树型数据结构，用于动态维护一个序列的前缀和。在实践中，它几乎总是用数组来实现；另外，由于代码易于记忆，它的树型结构很容易被忽略掉。它的中文名称“树状数组”很可能是因为以上两个特点得来。

低位（LowBit）

LowBit，即2进制数中从最低位开始连续0的位数的关于2的幂，其值LowBit(x)=x∧-x（x&-x，x and -x）。也就是上文所说的2^k

LowBit(x)显然就是not x中最低的是0的那一位，(not x)+1的那一位则会变成1，其更低的位全部变成0，而更高的位不变。由于更高的位就是原数取反，和原数求and的值为0，最低位就是唯一的是1的位了。所以LowBit(x)=x and((not x)+1)。 同时not x=-x-1，所以LowBit(x)=x and (-x)。

上图就是一个长度为16的数组的BIT，index(16)就表示落在16以内的个数，同时index(16)=sum(num[1]+num[2]+...+num[16])=index(8)+index(12)+index(14)+num[16]

即用index[i]表示从数据数组num中某一处一直到num[i]共2^k个元素的总和

读取累计的频率和

如果我们需要读取整数idx的频率累计和，我们可以让sum加上tree[idx]的值，然后让idx减去最有一个1（我们也可以说移走最后的1，使最后的1变为0），然后重复上述过程直至idx为0.我们可以使用下面这段 代码（C++）。

int read(int idx){
	int sum = 0;
	while (idx > 0){
		sum += tree[idx];
		idx -= (idx & -idx);
	}
	return sum;
}

举例： idx=13，sum=0：

iteration	idx	position of the last digit	idx & -idx	sum
1	13 = 1101	0	1 (2 ^0)	3
2	12 = 1100	2	4 (2 ^2)	14
3	8 = 1000	3	8 (2 ^3)	26
4	0 = 0	---	---	---

image 1.5 箭头指示了在遍历过程中使用的数据.

改变一些位置的频率并更新tree

当改变某些位置的频率时，所有tree中负责该位置的都需要更新。在读取idx的累计和时我们移走idx最后的1并且循环继续。修改tree中的一些值val时，我们需要增加当前idx的tree值tree[idx]，增加idx最后一位的1（例如idx为6，该值增加了val，当tree[6]增加了val后。6的最后等于1的一位是2，所以6+2=8，需要继续修改tree[8]的值）并且循环继续之前的过程，只要idx小于MaxVal.C++写的函数如下

void update(int idx ,int val){
	while (idx <= MaxVal){
		tree[idx] += val;
		idx += (idx & -idx);
	}
}

例如idx=5：

iteration	idx	position of the last digit	idx & -idx
1	5 = 101	0	1 (2 ^0)
2	6 = 110	1	2 (2 ^1)
3	8 = 1000	3	8 (2 ^3)
4	16 = 10000	4	16 (2 ^4)
5	32 = 100000	---	---

与普通数组相比在查找时时间复杂度变成logn，但增加了插入花销(普通数组插入复杂度为O(1)，BIT为O(logn))

315. Count of Smaller Numbers After Self

题目为找出数组中每个数字后面比这个数小的数的个数

我们可以在将原数组排序后把问题变成每个数的索引在BIT中有多少比他小的索引，从左向右进行扫描，每扫描完成一个将其在BIT中的占位从BIT中减去，即可使用nlogn的复杂度完成任务。

315代码，搜索130

307. Range Sum Query - Mutable

题目要求求一个区间内数值的总和，是BIT的长项之一，直接构建BIT，将数组放到相应的索引内，区间值就是大索引的和减去小索引的和

307代码

相关链接：http://www.nocow.cn/index.php/%E6%A0%91%E7%8A%B6%E6%95%B0%E7%BB%84

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