算法解剖系列-Canny边缘检测原理及实现

基本原理

• 须满足条件：抑制噪声；精确定位边缘。
• 从数学上表达了三个准则[信噪比准则（低错误率）、定位精度准则、单边缘响应准则]，并寻找表达式的最佳解。
• 属于先平滑后求导的方法。

算法基本步骤

$1、$使用高斯滤波平滑图像

$令f(x,y)表示数据（输入源数据），G(x,y)表示二维高斯函数（卷积操作数），f_s(x,y)$为卷积平滑后的图像。
$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{\frac{-(x^2+y^2)}{2{\sigma }^2}}$$
$$f_s(x,y)=f(x,y)\ast G(x,y)$$

$Guess过程$

• 用坐标点$(x,y)表示一个3\times 3的邻域，设中心点的坐标为(0,0)$，相邻的点以此类推。
  
• 计算权重矩阵。设定方差${\sigma }^2=0.64$的值，将对应各个坐标点$(x,y)$带入二维高斯公式$G(x,y)$中，得到一个权重矩阵，归一化权重矩阵(矩阵中各个点除以权重之和)，得到标准的权重矩阵，即高斯模板。

• 计算高斯模糊。设在一幅图像中的$3\times 3$区域内，用各像素点的灰度值乘以对应点的权重。

- 将得到的9个值求和，就是中心点的高斯模糊值。

**具体过程**：

• 简单来说就是使用$Guess$模板在原始图像中进行移位、相乘、相加的过程。

$2、$计算幅值图像,角度图像

补充：求变化率时，对于一元函数，即求导；对于二元函数，求偏导。

数字图像处理中，用一阶有限差分近似求取灰度值的梯度值(变化率)。
(即：使差商($\Delta f/\Delta x$) 近似取代微商( $\partial f/\partial x$)。求灰度的变化率，分别取x和y方向上相邻像素做差，代替求取x和y方向一阶偏导)

例：计算一点$x方向和y$方向的梯度幅值和方向

上图中显示一段直的边缘线段放大后一部分，每个方块代表一个像素点，用一个方框强调点处边缘的幅值和方向。令灰色像素值为0，白色像素值为1.

如图关于一点为中心的 $3\times 3$ 邻域，使用$Prewitt$卷积模板进行计算：

$$p_x=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right],p_y=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$$
根据$x方向和y$方向的卷积模板，可知，在$3\times 3$邻域中从底部一行像素值减去顶部一行的像素，得到$x$方向的偏导数(梯度)；同样，从右边一列像素值减去左边一列的像素，得到$y$方向的偏导数。

$x$方向的梯度： $g_x=\partial f/\partial x=(0-0)+(0-1)+(0-1)=-2$
$y$方向的梯度：$g_y=\partial f/\partial x=(1-0)+(1-0)+(0-0)=2$

由此，可以得到该点梯度的幅值和方向：
$M(x,y)=\sqrt{g_x^2+g_y^2}=2\sqrt{2}$
$\alpha (x,y)=arctan[g_y/g_x]=135°$

如下图表示了中心点的梯度向量、方位角以及边缘方向。（任一点的边缘与梯度向量正交）

注意：

• $g_x,g_y,M(x,y)和\alpha (x,y)$都是与原图像大小相同的图像。
• $\alpha (x,y)$是为了确定梯度的方向，以及确定非极大值抑制时的对比方向;
• $M(x,y)$用来确定是否为边缘点，幅值越大，表示像素区域灰度值变化越明显，更能代表边缘点.

Canny 算子卷积模板：
$$p_x=\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]，p_y=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

$p[i,j]=(f[i,j+1]-f[i,j]+f[i+1,j+1]-f[i+1,j])/2$
$Q[i,j]=(f[i+1,j]-f[i,j]+f[i+1,j+1]-f[i,j+1])/2$
$M[i,j]=\sqrt{p[i,j{]}^2+Q[i,j{]}^2}$
$\theta =arctan(Q[i,j]/p[i,j])$

$3、$对幅值图像进行非极大值抑制

步骤：
1. 对角度在四个方向进行划分，形成新的角度图；
2. 根据角度图(表征着梯度的方向)，对幅值进行非极大值抑制。

• 首先将角度划分成四个方向范围:水平$(0°)、-45°、垂直(90°)、+45°$。如下图：

- 接着讨论对3x3区域的四个基本边缘方向进行非极大值抑制。

做法：若中心点（即：访问点）在沿其方向上邻域的梯度幅值最大，则保留；否则，抑制。

$4、$双阈值检测和连接边缘

• 选取高阈值$T_H和低阈值T_L，比率为2:1或3:1。（一般取T_H=0.3/0.2,T_L=0.1$）
• 取出非极大值抑制后的图像中的最大梯度幅值，重新定义高低阈值。即：$T_H\times Max,T_L\times Max$。(当然可以自己给定)
• $将小于T_L的点抛弃，赋0；将大于T_H的点立即标记（这些点就是边缘点），赋1。$
• $将大于T_L，小于T_H的点使用8连通区域确定（即：只有与T_H像素连接时才会被接受，成为边缘点，赋1）$。

注意：双阈值做法是将候选像素点拼接成轮廓，轮廓的形成时对这些像素运用滞后性阈值。

算法实现

Matlab代码

clear all;
clc;

I = imread('rice.png');%读图
% I = rgb2gray(I);%灰度转换
I = double(I);%转化为双精度
[H,W] = size(I);%获取图像大小

%%  Step1：使用高斯滤波平滑图像

B = [1 2 1;2 4 2;1 2 1];%高斯滤波系数
B = 1/16.*B;%高斯滤波模板 方差=0.8
A = conv2(I,B,'same');%使用高斯模板进行卷积.计算二维卷积,结果与原图像大小相同 

%%  Step2：计算梯度的幅值图像,角度图像.

%Prewitt梯度模板
dx = [-1 0 1;-1 0 1;-1 0 1];%x方向的梯度模板
dy = [1 1 1; 0 0 0;-1 -1 -1];%y方向的梯度模板
gx = conv2(A,dx,'same');%获取x方向的梯度图像.使用梯度模板进行二维卷积,结果与原图像大小相同
gy = conv2(A,dy,'same');%获取y方向的梯度图像.使用梯度模板进行二维卷积,结果与原图像大小相同
M = sqrt((gx.^2) + (gy.^2));%获取幅值图像.大小与原图像相等.(.^)表示数组乘方
a = atan2(gy,gx);%获取弧度，范围：-pi~pi
a = a*180/pi;%将弧度转换为角度，得到角度图像，与原图像大小相等.

%%  Step3：对幅值图像进行应用非极大值抑制

%首先将角度划分成四个方向范围:水平(0°)、-45°、垂直(90°)、+45°
for i = 1:H
    for j = 1:W
        if((a(i,j) >= -22.5) && (a(i,j) < 0)||(a(i,j) >= 0) && (a(i,j) < 22.5) || (a(i,j) <= -157.5) && (a(i,j) >= -180)||(a(i,j) >= 157.5)&&(a(i,j) <= 180))
            a(i,j) = 0;
        elseif((a(i,j) >= 22.5) && (a(i,j) < 67.5) || (a(i,j) <= -112.5) && (a(i,j) > -157.5))
            a(i,j) = -45;
        elseif((a(i,j) >= 67.5) && (a(i,j) < 112.5) || (a(i,j) <= -67.5) && (a(i,j) >- 112.5))
            a(i,j) = 90;
        elseif((a(i,j) >= 112.5) && (a(i,j) < 157.5) || (a(i,j) <= -22.5) && (a(i,j) > -67.5))
            a(i,j) = 45;  
        end
    end
end
%讨论对 3x3 区域的四个基本边缘方向进行非极大值抑制.获取非极大值抑制图像
Nms = zeros(H,W);%定义一个非极大值图像
for i = 2:H-1
    for j= 2:W-1
        if (a(i,j) == 0 && M(i,j) == max([M(i,j), M(i,j+1), M(i,j-1)]))
            Nms(i,j) = M(i,j);
        elseif (a(i,j) == -45 && M(i,j) == max([M(i,j), M(i+1,j-1), M(i-1,j+1)]))
            Nms(i,j) = M(i,j);
        elseif (a(i,j) == 90 && M(i,j) == max([M(i,j), M(i+1,j), M(i-1,j)]))
            Nms(i,j) = M(i,j);
        elseif (a(i,j) == 45 && M(i,j) == max([M(i,j), M(i+1,j+1), M(i-1,j-1)]))
            Nms(i,j) = M(i,j);
        end;
    end;
end;

%%  Step4:双阈值检测和连接边缘

DT = zeros(H,W);%定义一个双阈值图像
TL = 0.1 * max(max(Nms));%低阈值
TH = 0.3 * max(max(Nms));%高阈值
for i = 1  : H
    for j = 1 : W
        if (Nms(i, j) < TL)
            DT(i,j) = 0;
        elseif (Nms(i, j) > TH)
            DT(i,j) = 1 ;
        %对TL < Nms(i, j) < TH 使用8连通区域确定
        elseif ( Nms(i+1,j) > TH || Nms(i-1,j) >TH || Nms(i,j+1) > TH || Nms(i,j-1) > TH || Nms(i-1, j-1) > TH || Nms(i-1, j+1) > TH || Nms(i+1, j+1) > TH || Nms(i+1, j-1) > TH)
            DT(i,j) = 1;
        end;
    end;
end;
figure, imshow(DT); %最终的边缘检测为二值图像

效果图