http://blog.csdn.net/justlovetao/article/details/6673602
有向图强连通分量的Tarjan算法 [有向图强连通分量]
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索被搜索到时的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，
Low(u)=Min
{
DFN(u),（第一次被搜索到）
Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)（即沿着u搜到v时，发现v已经被搜过了，也就是说形成了一个环）
}
当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。(实质上就是这个点的整个子树回溯完了，并且下面都是死路)
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
（1，3，4的low都是1，已经说明它们是一个连通分量）
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附：tarjan算法的C++程序
- #include
- #include
- using namespace std;
- #define N 100
- #define M 100
- struct Edge
- {
- int v;
- int next;
- };
- Edge edge[M];
-
- int node[N];
- int instack[N];
- int stack[N];
- int Belong[N];
- int DFN[N];
- int LOW[N];
- int n, m;
- int cnt_edge;
- int Index;
- int top;
- int Bcnt;
-
- void add_edge(int u, int v)
- {
- edge[cnt_edge].next = node[u];
- edge[cnt_edge].v = v;
- node[u] = cnt_edge++;
- }
- void tarjan(int u)
- {
- int i,j;
- int v;
- DFN[u]=LOW[u]=++Index;
- instack[u]=true;
- stack[++top]=u;
- for (i = node[u]; i != -1; i = edge[i].next)
- {
- v=edge[i].v;
- if (!DFN[v])
- {
- tarjan(v);
- if (LOW[v]
- LOW[u]=LOW[v];
- }
- else
- if (instack[v] && DFN[v]
- LOW[u]=DFN[v];
- }
- if (DFN[u]==LOW[u])
- {
- Bcnt++;
- do
- {
- j=stack[top--];
- instack[j]=false;
- Belong[j]=Bcnt;
- }
- while (j!=u);
- }
- }
- void solve()
- {
- int i;
- top=Bcnt=Index=0;
- memset(DFN,0,sizeof(DFN));
- memset(LOW,0,sizeof(LOW));
- for (i=1;i<=n;i++)
- if (!DFN[i])
- tarjan(i);
- }
- int main()
- {
- freopen("in.txt","r",stdin);
- int i,j,k;
- cnt_edge=0;
- memset(node,-1,sizeof(node));
- scanf("%d%d",&n,&m);
- for(i=1;i<=m;i++)
- {
- scanf("%d%d",&j,&k);
- add_edge(j,k);
- }
- solve();
- for(i=1;i<=n;i++)
- printf("%d ",Belong[i]);
- }
-
-
模板题目：
Strongly Connected Components
Write a program to find the strongly connected components in a digraph.
void StronglyConnectedComponents( Graph G, void (*visit)(Vertex V) );
where Graph is defined as the following:
typedef struct VNode *PtrToVNode;
struct VNode {
Vertex Vert;
PtrToVNode Next;
};
typedef struct GNode *Graph;
struct GNode {
int NumOfVertices;
int NumOfEdges;
PtrToVNode *Array;
};
Here void (*visit)(Vertex V) is a function parameter that is passed into StronglyConnectedComponents to handle (print with a certain format) each vertex that is visited. The function StronglyConnectedComponents is supposed to print a return after each component is found.
Sample program of judge:
#include
#include
#define MaxVertices 10 /* maximum number of vertices */
typedef int Vertex; /* vertices are numbered from 0 to MaxVertices-1 */
typedef struct VNode *PtrToVNode;
struct VNode {
Vertex Vert;
PtrToVNode Next;
};
typedef struct GNode *Graph;
struct GNode {
int NumOfVertices;
int NumOfEdges;
PtrToVNode *Array;
};
Graph ReadG(); /* details omitted */
void PrintV( Vertex V )
{
printf("%d ", V);
}
void StronglyConnectedComponents( Graph G, void (*visit)(Vertex V) );
int main()
{
Graph G = ReadG();
StronglyConnectedComponents( G, PrintV );
return 0;
}
/* Your function will be put here */
4 5
0 1
1 2
2 0
3 1
3 2
Sample Output:
3
1 2 0
Note: The output order does not matter. That is, a solution like
0 1 2
3
is also considered correct.
int instack[100];
int index;
int DFN[100];
int low[100];
int stack[100];
int top;
void DFS(int u,Graph G,void (*visit)(Vertex V)){
DFN[u] = ++index;
low[u] = DFN[u];
PtrToVNode temphead = G->Array[u];
stack[++top] = u;
instack[u]=1;
while(temphead){
int cur = temphead->Vert;
if(!DFN[cur]) {
DFS(cur,G,visit);
if(low[cur] Next;
}
if(DFN[u] == low[u]){
int temp;
do{
temp = stack[top--];
visit(temp);
instack[temp]=0;
}while(temp != u);
printf("\n");
}
}
StronglyConnectedComponents( Graph G,void (*visit)(Vertex V)){
int V = G->NumOfVertices;
for(int i=0;i
