强连通分量及缩点tarjan算法解析

http://blog.csdn.net/justlovetao/article/details/6673602 

有向图强连通分量的Tarjan算法 [有向图强连通分量]

在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索被搜索到时的次序编号(时间戳)Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,

Low(u)=Min
{
   DFN(u),(第一次被搜索到)
   Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点
   DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)(即沿着u搜到v时,发现v已经被搜过了,也就是说形成了一个环)
}

当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。(实质上就是这个点的整个子树回溯完了,并且下面都是死路)


接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

1,3,4的low都是1,已经说明它们是一个连通分量

继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附:tarjan算法的C++程序

#include  
  1. #include  
  2. #include  
  3. using namespace std;  
  4. #define N 100  
  5. #define M 100  
  6. struct Edge  
  7. {  
  8.     int v;  
  9.     int next;  
  10. };  
  11. Edge edge[M];//边的集合  
  12.   
  13. int node[N];//顶点集合  
  14. int instack[N];//标记是否在stack中  
  15. int stack[N];  
  16. int Belong[N];//各顶点属于哪个强连通分量  
  17. int DFN[N];//节点u搜索的序号(时间戳)  
  18. int LOW[N];//u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的序号(时间戳)  
  19. int n, m;//n:点的个数;m:边的条数  
  20. int cnt_edge;//边的计数器  
  21. int Index;//序号(时间戳)  
  22. int top;  
  23. int Bcnt;//有多少个强连通分量  
  24.   
  25. void add_edge(int u, int v)//邻接表存储  
  26. {  
  27.     edge[cnt_edge].next = node[u];  
  28.     edge[cnt_edge].v = v;  
  29.     node[u] = cnt_edge++;  
  30. }  
  31. void tarjan(int u)  
  32. {  
  33.     int i,j;  
  34.     int v;  
  35.     DFN[u]=LOW[u]=++Index;  
  36.     instack[u]=true;  
  37.     stack[++top]=u;  
  38.     for (i = node[u]; i != -1; i = edge[i].next)  
  39.     {  
  40.         v=edge[i].v;  
  41.         if (!DFN[v])//如果点v没被访问  
  42.         {  
  43.             tarjan(v);  
  44.             if (LOW[v]
  45.                 LOW[u]=LOW[v];  
  46.         }  
  47.         else//如果点v已经被访问过  
  48.             if (instack[v] && DFN[v]
  49.                 LOW[u]=DFN[v];  
  50.     }  
  51.     if (DFN[u]==LOW[u])  
  52.     {  
  53.         Bcnt++;  
  54.         do  
  55.         {  
  56.             j=stack[top--];  
  57.             instack[j]=false;  
  58.             Belong[j]=Bcnt;  
  59.         }  
  60.         while (j!=u);  
  61.     }  
  62. }  
  63. void solve()  
  64. {  
  65.     int i;  
  66.     top=Bcnt=Index=0;  
  67.     memset(DFN,0,sizeof(DFN));  
  68.     memset(LOW,0,sizeof(LOW));  
  69.     for (i=1;i<=n;i++)  
  70.         if (!DFN[i])  
  71.             tarjan(i);  
  72. }  
  73. int main()  
  74. {  
  75.     freopen("in.txt","r",stdin);  
  76.     int i,j,k;  
  77.     cnt_edge=0;  
  78.     memset(node,-1,sizeof(node));  
  79.     scanf("%d%d",&n,&m);  
  80.     for(i=1;i<=m;i++)  
  81.     {  
  82.         scanf("%d%d",&j,&k);  
  83.         add_edge(j,k);  
  84.     }  
  85.     solve();  
  86.     for(i=1;i<=n;i++)  
  87.         printf("%d ",Belong[i]);  
  88. }  
  89.   

  90.   

模板题目:
Strongly Connected Components  

Write a program to find the strongly connected components in a digraph.

Format of functions:

void StronglyConnectedComponents( Graph G, void (*visit)(Vertex V) );

where Graph is defined as the following:

typedef struct VNode *PtrToVNode;
struct VNode {
    Vertex Vert;
    PtrToVNode Next;
};
typedef struct GNode *Graph;
struct GNode {
    int NumOfVertices;
    int NumOfEdges;
    PtrToVNode *Array;
};

Here void (*visit)(Vertex V) is a function parameter that is passed into StronglyConnectedComponents to handle (print with a certain format) each vertex that is visited. The function StronglyConnectedComponents is supposed to print a return after each component is found.

Sample program of judge:

#include 
#include 

#define MaxVertices 10  /* maximum number of vertices */
typedef int Vertex;     /* vertices are numbered from 0 to MaxVertices-1 */
typedef struct VNode *PtrToVNode;
struct VNode {
    Vertex Vert;
    PtrToVNode Next;
};
typedef struct GNode *Graph;
struct GNode {
    int NumOfVertices;
    int NumOfEdges;
    PtrToVNode *Array;
};

Graph ReadG(); /* details omitted */

void PrintV( Vertex V )
{
   printf("%d ", V);
}

void StronglyConnectedComponents( Graph G, void (*visit)(Vertex V) );

int main()
{
    Graph G = ReadG();
    StronglyConnectedComponents( G, PrintV );
    return 0;
}

/* Your function will be put here */

Sample Input (for the graph shown in the figure):

4 5
0 1
1 2
2 0
3 1
3 2

Sample Output:

3 
1 2 0

Note: The output order does not matter. That is, a solution like

0 1 2 
3

is also considered correct.

int instack[100];
int index;
int DFN[100];
int low[100];
int stack[100];
int top;
void DFS(int u,Graph G,void (*visit)(Vertex V)){
	DFN[u] = ++index;
	low[u] = DFN[u];
	PtrToVNode temphead = G->Array[u];
	stack[++top] = u;
	instack[u]=1;
	while(temphead){
		int cur = temphead->Vert;
		if(!DFN[cur]) {
			DFS(cur,G,visit);
			if(low[cur] Next;
	}
	if(DFN[u] == low[u]){
		int temp;
		do{
			temp = stack[top--];
			visit(temp);
			instack[temp]=0;
		}while(temp != u);
		printf("\n");
	}
}


StronglyConnectedComponents( Graph G,void (*visit)(Vertex V)){
	int V = G->NumOfVertices;
	for(int i=0;i



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