Bregman divergence

Bregman divergence

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Bregman 散度（Bregman divergence or divergence distance）是一种类似于距离度量的方式，用于衡量两者之间的差异大小。

定义

可以认为，Bregman散度是损失或者失真函数。考虑如下情况：设点 p 是点 q 的失真或者近似的点，也就是说可能 p 是由 q 添加了一些噪声形成的，损失函数的目的是度量 p 近似 q 导致的失真或者损失，因而Bregman散度可以用作相异性函数。

更为形式化地，定义函数 F:Ω→R 。其中 Ω 是一个凸集， F 是一个严格凸二次可微函数。
由该函数 F 生成的Bregman散度通过下面的公式给出：

DF(p.q)=F(p)−F(q)−⟨∇F(q),(p−q)⟩

其中 ∇F(q) 表示函数 F 在 q 处的 梯度， (p−q) 表示两个向量的差， ⟨∇F(q),(p−q)⟩ 是 ∇F(q) 和 (p−q) 的 内积。
以上公式的后半部分 L(p,q)=F(q)+⟨∇F(q),(p−q)⟩ 表示了函数F在 q 点附近的线性部分，而Bregman散度是一个函数与该函数的线性近似（一阶Taylor展开）之间的差，选取不同的函数F可以得到不同的Bregman散度。

性质

1.　不满足三角不等式，即对任意的x、y、z，以下不等式不一定成立：

DF(x,z)≤DF(x,ｙ)＋DF(ｙ,z)

2.　不满足对称性，即对任意ｘ和ｙ，下式不一定成立：

DF(x,y)=DF(y,x)

3. 非负性：对于所有的p和q，满足 DF(p,q)≥0 ,这一点是由函数F的凸性决定的；
4. 凸性： DF(p,q) 在第一个参数上是凸的,但是在第二个参数上不一定是；
5. 线性：如果我们将Bregman散度考虑为函 F 的操作符，那么它对于非负的系数是线性的。即对于严格凸且可微的函数 F1 和 F2 ，以及系数 λ≥0 ，满足：

DF1+λF2(p,q)=DF1(p,q)+λDF2(p,q)

6. 对偶性：函数 F 具有凸的共轭 F∗ ，则 F∗ 的Bregman散度与 DF(p,q) 存在着如下的联系：

D∗F(p∗,q∗)=DF(q,p)

其中， p∗=∇F(p) ， q∗=∇F(q) 是p和q的对偶点。

举例

选择不同的函数 F ，就可以得到不同的Bregman散度形式：

• 欧式距离平方
  

  DF(x,y)=||x−y||2
  
  是令 F(x)=||x||2 得到的。

• 马氏距离平方
  

  DF(x,y)=12(x−y)TQ(x−y)
  
  是令 F(x)=12xTQx 得到的，这可以看作是以上欧式距离平方的推广。

• KL散度
  

  DF(p,q)=∑p(i)logp(i)q(i)−∑p(i)+∑q(i)
  
  是令 F(p)=∑p(i)logp(i)−∑p(i) 得到的。

• IS距离
  

  DF(p,q)=∑i(p(i)q(i)−logp(i)q(i)−1)
  
  是令 F(p)=−∑p(i) 得到的。