【ACM】矩阵快速幂+快速幂+费马小定理

一：矩阵快速幂算法
矩阵快速幂的思想和数的快速幂的思想是一样的，但是需要自己实现矩阵的乘法，然后套用数的快速幂模板即可。
核心： 难点在于构造矩阵，一般用于可以推出递推公式的题目，发现时间复杂度为O（n），因此可以构造一个矩阵，利用矩阵快速幂算法把时间复杂度降低到O（logn）。
矩阵的快速幂算法是用于高效的计算矩阵的高次方的。比如矩阵A*A*A*A*A*A可以变为（A*A）（A*A）（A*A），因此只需要计算一次A*A然后连乘两次就可以了，这样一共乘了三次，少于原来的五次。原理就是利用矩阵乘法的结合律来减少矩阵的重复计算的次数。
上述的例子是取一个具体的数作为一个最小单位的长度，但是也有不足之处，取一个极限的例子，当n趋于无穷大的时候，你现在取的长度与1没有什么区别的。所以应该找一个与n增长速度相适应的单位长度。
任意的一个整数都可以用一个二进制数字来进行表示，A^156 = (A^4)(A^8)(A^16)*(A^128)，其中156=10011100，也就是说每一个整数的幂都可以换成二进制表示，二进制代表了这个整数可以拆分成2的位次幂之和。
（二进制采用了化连续为离散的思想，一般是为了优化一个算法才会使用它，而不是去为了解决一个问题，常见的有多重背包问题、树状数组、状态压缩DP）。

矩阵的实现通过二维数组，如果A*B=C，则c[i][j]为A的第i行与B的第j列的对应乘积的和。

const int N=100;
int C[N][N];
void multi(int A[][N] , int B[][N] ,int n)
{
    memset(C,0,sizeof(C));
    for(int i=0;i
       {
         for(int j=0;j
            {
              for(int k=0;k
                 {
                    C[i][j] += A[i][k] *B[k][j];
                 }
            }

        }

}

显然时间复杂度是O（n^3）,至于有种更低时间复杂度的矩阵乘法方式，可以参考这个网站矩阵乘法时间复杂度分析

矩阵快速幂算法如下：

memset(res,0,sizeof(res));
for(int i=0;ii++)
{ 
    res[i][i] = 1;
}
while(n)
{
      if(n&1)
      {
          multi(res,a,n);
      }
      multi(a,a,n);
      n>>=1;
}

在矩阵方面可以采用结构体进行存储，代码会相对的简洁一些，res数组的处理就是令res为单位矩阵，类似于数字快速幂算法中的ans=1，单位矩阵E的性质是E*A= A。n&1是按位与运算，同位相同为1，不同为0，这个表达式一般用于判断n的奇偶性，如果是偶数，n&1返回0；否则返回1。n>>=1是移位运算，也可以写作n=n/2。
建立矩阵递推式： 递推矩阵转移方程是T*A（n-1）=A（n）
一般来说，A（n-1）和A（n）一般都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把A(n-1)转移到A(n);然后这就是个等比数列，直接写出通项:此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到An。

2.快速幂取余算法

int  PowerMod(int a, int b, int c)
{
    int ans =1;
    a =a%c;
    while(b)
    {
          if(b&1)
               ans  = (ans*a)%c;
        a=(a*a)%c;
        b=b/2;//或者b>>=2
    }
    return ans;
}

3.费马小定理
费马小定理是初等数论的四大定理之一。费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
当遇到数论除法时，不应该是直接除以这个数，而是应该变成乘以它的乘法逆元。逆元的计算可以用拓展gcd，在数论取模的时候经常会遇到一个数字是1000000007。当我们除以一个数，相当于乘上1/n若x是1/n关于模N的逆元，则x=1/n (mod N)，即 x*n=1(mod N)。由于我们做题时N常常为1000000007，而1000000007是个素数，所以它满足了费马小定理，而满足费马小定理说明解唯一，所以我们可以直接得出x*n=n^(N-1)。那么x=n^(N-2),即为1/n关于模N的乘法逆元。

下面给出一些习题
http://blog.csdn.net/chenguolinblog/article/details/10309423