题目
梦游中的你来到了一棵 \(N\) 个节点的树上. 你一共做了 \(Q\) 个梦, 每个梦需要你从点 \(u\) 走到 点 \(v\) 之后才能苏醒, 由于你正在梦游, 所以每到一个节点后,你会在它连出去的边中等概率地 选择一条走过去, 为了确保第二天能够准时到校, 你要求出每个梦期望经过多少条边才能苏 醒. 为了避免精度误差, 你要输出答案模 \(10^9+7\) 的结果。
思路
设 \(f[x]\) 表示 \(x\) 走到其父亲的期望步数。分类有
\[f[x]=\frac{1+\sum_{y\in \operatorname{son(x)}}(1+f[y])}{k} \]
移项得 \(f[x]=1+\sum_{y\in \operatorname{son(x)}}(1+f[y])\)。
设 \(g[x]\) 表示 \(x\) 从其父亲走到 \(x\) 的期望步数。分类有
\[g[x]=\frac{1+(1+g[x]+g[y])+\sum_{p\in \operatorname{brother(y)}}(1+f[p]+g[y])}{k} \]
移项得 \(f[y]=2+g[x]+\sum_{p\in \operatorname{brother(x)}}(1+f[p])\)。
发现后面的 \(\sum\) 和 \(f[x]\) 很像，简单换元可得 \(g[y]=g[x]+f[x]-f[y]\)。
多么优美的式子啊233。
然后求出 \(f,g\)，树上前缀和求路径期望即可。
时间复杂度 \(O(n)\)。
代码
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=500010,MOD=1e9+7,LG=30;
int n,tot,Q,fa[N][LG+1],dep[N],head[N];
ll f[N],g[N];
struct edge
{
int next,to;
}e[N*2];
void add(int from,int to)
{
e[++tot].to=to;
e[tot].next=head[from];
head[from]=tot;
}
void dfs1(int x,int ff)
{
fa[x][0]=ff; dep[x]=dep[ff]+1;
for (int i=1;i<=LG;i++)
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
f[x]=1;
for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (v!=ff)
{
dfs1(v,x);
f[x]=(f[x]+1+f[v])%MOD;
}
}
}
void dfs2(int x,int ff)
{
for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (v!=ff)
{
g[v]=(g[x]+f[x]-f[v])%MOD;
dfs2(v,x);
}
}
}
int lca(int x,int y)
{
if (dep[x]=0;i--)
if (dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
if (x==y) return x;
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (fa[x][i]!=fa[y][i])
{
x=fa[x][i];
y=fa[y][i];
}
return fa[x][0];
}
void dfs3(int x,int ff)
{
f[x]+=f[ff]; g[x]+=g[ff];
for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
if (e[i].to!=ff) dfs3(e[i].to,x);
}
int main()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d%d",&n,&Q);
for (int i=1,x,y;i