◆竞赛题目◆◇NOIP2016普及组◇ 魔法阵

◇NOIP2016 普及组◇魔法阵

---

Description
六十年一次的魔法战争就要开始了，大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。
大魔法师有m个魔法物品，编号分别为1,2,…,m。每个物品具有一个魔法值，我们用Xi表示编号为i的物品的魔法值。每个魔法值Xi是不超过n的正整数，可能有多个物品的魔法值相同。
大魔法师认为，当且仅当四个编号为a,b,c,d的魔法物品满足xa < xb < xc < xd，Xb - Xa = 2 ( Xd - Xc )，并且 xb - xa < ( xc - xb ) / 3时，这四个魔法物品形成了一个魔法阵，他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品，B物品，C物品，D物品。
现在，大魔法师想要知道，对于每个魔法物品，作为某个魔法阵的A物品出现的次数，作为B物品的次数，作为C物品的次数，和作为D物品的次数。
Input
输入文件的第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。
接下来m行，每行一个正整数，第i+1行的正整数表示Xi，即编号为i的物品的魔法值。
保证1≤n≤15000，1≤m≤40000，1≤Xi≤n。每个Xi是分别在合法范围内等概率随机生成的。

Output
共输出m行，每行四个整数。第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作 为A,B,C,D物品分别出现的次数。
保证标准输出中的每个数都不会超过10^9。
每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。

Sample Input

30 8
1
24
7
28
5
29
26
24

Sample Output

4 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 1
1 3 0 0
0 0 0 2
0 0 2 2
0 0 1 0

---

题目解析
对于这道NOIP普及组的第四题，毕竟有些难度。于是大多数人追求的是骗分，而在比赛后做这道题，我们了解到了正解——仍然是枚举。
首先涉及一定的 数学分析 。看到：“Xa < Xb < Xc < Xd，Xb - Xa = 2 ( Xd - Xc )，并且 Xb - Xa < ( Xc - Xb ) / 3”，我们可以先整合一下：

1. 先把 Xb−Xa=2(Xd−Xc) 代入 Xb−Xa<(Xc−Xb)/3 ，得到 2(Xd−Xc)<(Xc−Xb)/3 ，再同时乘3，得 6(Xd−Xc)<Xc−Xb ；
2. 我们把它用几何语言解释一下，就是：在数轴上，a 到 b 的距离是 d 到 c 的距离的2倍；6倍的 c 到 d 的距离小于 b 到 c 的距离；
3. 我们把 d 到 c 的距离记为 i ，那么 b−a=2i,c−b>6i,d−c=i
4. 表现在数轴上：
   

由于C++最方便计算整数，因此 >6i 我们可以略为 6i+1 。因此我们就得到 c−b=6i+1 。
再回到程序上——首先是几个数组：

1. 在这里物品的序号并没有任何的影响，我们可以用 int 数组 magic[i] 表示魔法值为i的物品的总数；
2. 还需要一个存答案的 int 数组 ans[i][j] 表示魔法值为i的物品作为 a,b,c,d（0,1,2,3）的次数；

先枚举i的值。因为 d<=n ，所以 d−a<=n ，即 2i+i+6i+1<=n ，就得到了i的范围 i<=(n−1)/9 ，因为 i=n/9 时对答案没有任何影响，我们可以写成 i<=n/9 。
由于确定了a就可以确定b，确定了d就可以确定c，根据组合数学的乘法原理，我们可以用一个前缀和sum变量来存储每一个a的值所对应的 c*d 的前缀和或每一个d的值所对应的 a*b 的前缀和。又由于 a 与 b 相关， c 与 d 相关，于是就可以求得每一个a或d的值所对应的物品应用次数。
不多说，看代码。

---

程序样例

/*Lucky_Glass*/
/*$魔法阵$*/
#include
#include
#include
#define M_max 15000
#define T_max 40000
using namespace std;
int read(){int x=0;char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();while('0'<=ch && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x;}//读入优化
int magic[M_max+5];
int T_num,M_num,ans[M_max+5][4],F[T_max+5];
int main()
{
    scanf("%d%d",&M_num,&T_num);
    for(int i=1;i<=T_num;i++) F[i]=read(),magic[F[i]]++;
    for(int i=1;i<=M_num/9;i++)
    {
        for(int d=i*9+2,sum=0;d<=M_num;d++)
        {
            int c=d-i,b=d-7*i-1,a=d-9*i-1;
            sum+=magic[a]*magic[b];
            ans[c][2]+=magic[d]*sum;
            ans[d][3]+=magic[c]*sum;
        }
        for(int a=M_num-i*9-1,sum=0;a>=1;a--)
        {
            int b=a+2*i,c=a+8*i+1,d=a+9*i+1;
            sum+=magic[c]*magic[d];
            ans[a][0]+=magic[b]*sum;
            ans[b][1]+=magic[a]*sum;
        }
    }
    for(int i=1;i<=T_num;i++)
        printf("%d %d %d %d\n",ans[F[i]][0],ans[F[i]][1],ans[F[i]][2],ans[F[i]][3]);
    return 0;
}

---

The End

Thanks for reading!

-Lucky_Glass

---