#Vijos P1090#连续数之和

组合数学二

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题目描述

有n个正整数排成一行。你的目的是要从中取出一个或连续的若干个数，使它们的和能够被k整除。 例如，有6个正整数，它们依次为1、2、6、3、7、4。若k=3，则你可以取出1、2、6，或者2、6、3、7，也可以仅仅取出一个6或者3使你所取的数之和能被3整除。当然，满足要求的取法不止以上这4种。事实上，一共有7种取法满足要求。 给定n和k，以及这n个数。你的任务就是确定，从这n个数中取出其中一个数或者若干连续的数使它们的和能被k整除有多少方法。 由于取法可能很多，因此你只需要输出它mod 1234567的值即可。

输入

第一行有两个正整数，分别代表n和k。输入数据保证有n小于等于500 000，k小于等于100 000。 以下n行每行一个正整数。这些正整数保证都不大于10 000。

输出

一个正整数。它应该是你的答案mod 1234567的结果。

样例输入

6 3
1
2
6
3
7
4

样例输出

7

求一段连续位置上数字和，对数列求前缀和sum，从第j + 1项到第i项的和：sum[ i ] - sum[ j ]

则 ( sum[ i ] - sum[ j ] ) % k = 0

-> sum[ i ] ≡ sum[ j ] (mod k)且 i > j-> i >= j + 1(i = j + 1时是单独的一个数)

将sum分类，可以用k的剩余系来表示sum中的一类数，Z(k) = {0 , 1 , 2 , .... , k - 1}

对于每类数，由于i > j，有：(当余数为k1时，共有n个数余数为k1)

i = a1, j = a2,a3,a4,....,an(n - 1)组

i = a2 , j = a3, a4,....,an(n - 2)组

....

i = a(n-1) , j = an(1)组

所以对于余数k1，一共有(n - 1) + (n - 2) + ....+1 = (n - 1)*n / 2

当k1 = 0时， 不仅两个数一组， 它每个数本身也作为一种方案，共n种

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
const int mod=1234567;
int R[100005];
int main(){
    int N,K,x;
    LL ans=0,sum=0;
    scanf("%d%d",&N,&K);
    for(int i=1; i<=N; ++i){
        scanf("%d",&x);
        sum+=x%K;
        ++R[sum%K];
    }
    ans=R[0]%mod;
    for(int i=0; i>1))%mod;
    cout<