【算法学习】点分治的两种写法与常见套路总结

概述

点分治是一种基于树的重心，统计树上路径的优秀算法。将树上的路径分为经过树的重心和不经过树的重心两种，同时利用树的重心性质，使得递归深度不超过 logn l o g n 次。总时间复杂度取决于每次递归统计答案的时间复杂度。若每次统计是 O(n) O ( n ) 的，那么总时间复杂度是 O(nlogn) O ( n l o g n ) 。若统计的时间复杂度是 O(nlogn) O ( n l o g n ) 的，那么总时间复杂度为 O(nlog2n) O ( n l o g 2 n ) 。这两种时间复杂度均为可也接受的。

写法

点分治有2种写法。

1. 对于某个重心 u u ，统计以 u u 为根的所有路径，然后计算出所有组合情况。递归子树时，首先删除全部在一颗子树的路径，然后再进入子树递归求解。这样可以保证路径全部合法且不重不漏。
2. 对于某个重心 u u ，先进入子树 v1 v 1 ，求解出 u u 到子树 v1 v 1 所有节点的路径，然后进入子树 v2 v 2 ，进入时先统计答案，然后再统计相关值。每次进入新的子树时，先统计答案，这样每次计算的路径一定是和之前统计过子树的相连而成的，没有不合法的答案，所以不用删除。最后，依次递归进子树，找出重心递归求解。

图1表示直接统计以重心为根的子树上的路径，递归进入子树之前，首先删除子树中的不合法路径。

图2表示按子树依次递归进入，进入后先统计答案，然后再统计相关值。统计答案是利用到了先前子树的信息。

一般来说，第二种写法常数更小。

相关套路

目前遇到的题型有

1. 路径和等于或小于等于 k k 的点对（路径条数）。
2. 路径和为某个数的倍数。
3. 路径和为 k k 且路径的边数最少。
4. 路径和 mod M m o d   M 后为某个值。
5. 路径上经过不允许点的个数不超过某个值，且路径和最大。

如若使用方法1，一般开一个栈，保存路径上的距离等相关信息，排序后利用单调性或者二分找答案。

如若使用方法2，则一般处理这些问题时，都是开一个桶 mess[i] m e s s [ i ] ，表示距离为 i i 的相关信息。