Vijos1090. 连续数之和

试题请参见: https://vijos.org/p/1090

题目概述

有n个正整数排成一行。你的目的是要从中取出一个或连续的若干个数，使它们的和能够被k整除。
例如，有6个正整数，它们依次为1、2、6、3、7、4。若k=3，则你可以取出1、2、6，或者2、6、3、7，也可以仅仅取出一个6或者3使你所取的数之和能被3整除。当然，满足要求的取法不止以上这4种。事实上，一共有7种取法满足要求。
给定n和k，以及这n个数。你的任务就是确定，从这n个数中取出其中一个数或者若干连续的数使它们的和能被k整除有多少方法。
由于取法可能很多，因此你只需要输出它mod 1234567的值即可。

输入

第一行有两个正整数，分别代表n和k。输入数据保证有n<=500 000，k<=100 000。
以下n行每行一个正整数。这些正整数保证都不大于10 000。

输出

一个正整数。它应该是你的答案mod 1234567的结果。

解题思路

假设sum[i]表示前i个数的和.

当(sum[i] - sum[j]) mod k == 0 这时[j + 1, i]就是满足的一个方案了.

而我们求的是(sum[i] - sum[j]) mod k == 0 这样的方案总个数, 则有 sum[i] mod k == sum[j] mod k. 即求得满足sum[i] mod k == sum[j] mod k的方案个数.

假设 sum[a], sum[b], ..., sum[c](共complements[i]个)都是 mod k 余数为i的sum;

那么从上面complements[i]个sum中任意选取两个就能得出(sum[i] - sum[j]) mod k == 0.

那么在complements[i]个sum中怎么配对呢?

1. sum[b1]与sum[b2] sum[b3] ...sum[bn] (bn-1 个) 

2. sum[b2]与sum[b3] sum[b4] ...sum[bn] (bn-2 个) 

3. sum[b3]与sum[b4] sum[b5] ...sum[bn] (bn-3 个) 

............ 

n-1. sum[bn-1]与sum[bn]　 　　　　   ( 1 个) 

所以对于余数为i的情况, 方案总数= (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 = complements[i] * ( complements[i] - 1 ) / 2.

遇到的问题

1. 若干次的WA, 由于没有考虑到当余数为0时, 自身也可以构成一种方案, 因此需要加上complements[0].

2. 若干次的TLE, 其实很多事情可以在一个循环内完成.

源代码

#include 

int main() {
    using std::cin;

    int n = 0, k = 0, total = 0;
    int complements[100000] = {0};

    // Input
    cin >> n >> k;

    // Processing
    int sum = 0, number = 0;
    for ( int i = 0; i < n; ++ i ) {
        cin >> number;
        sum += number % k;
        ++ complements[sum % k];
    }
    for ( int i = 0; i < k; ++ i ) {
        total = (total + complements[i] * (complements[i] - 1) / 2) % 1234567;
        if ( i == 0 ) {
            total += complements[i] % 1234567;
        }
    }

    // Output
    std::cout << total << std::endl;

    return 0;
}