nssl1468-V【状压,数学期望,dfs】

正题

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题目大意

$n$个球排成一排颜色不同，每次选择一个随机的$[1..n]$中的$x$，然后删掉第$x$个或第$n-x+1$个数，求删$k$次之后删掉的白球最多，求删掉数量的期望值

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解题思路

考虑状态压缩$dp$，定义第一个$1$所在位数表示剩下的球数，$1$表示该位置是白球，$0$表示该位置是黑球。设$f_s$表示状态为$s$时的最小期望值。

$del(s,i)$表示$s$去掉第$i$个球后的状态，有状态转移方程$$f_s=\frac{{\sum }_{i=1}^{l}max\{f_{del(s,i)}+one(s,i),f_{del(s,n-i+1)}+one(s,n-i+1)\}}{l}$$

这样的时间复杂度为$O(2^{n}n)$

但是有许多状态是没有使用的，我们对于小的$s$可以用一个桶存，对于大的$s$我们可以用$map$来存即可

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$code$

#include
#include
#include
#include
#define XJQ using
#define AK namespace
#define IOI std
XJQ AK IOI;
const int N=35,Lim=1<<24;
int n,k;
double a[Lim];
map<int,double> m; 
char str[N];
bool live(int x,int l){
	int z=x|(1<<l);
	if(z<Lim)return (a[z]!=-1);
	return m.count(z);
}
double get(int x,int l){
	int z=x|(1<<l);
	if(z<Lim)return a[z];
	return m[z]; 
}
void change(int x,int l,double val){
	int z=x|(1<<l);
	if(z<Lim) a[z]=val;
	else m[z]=val;
	return;
}
int del(int x,int w)
{return ((x>>w+1)<<w)+x%(1<<w);} 
double dfs(int s,int l){
	if(l<=n-k)return 0;
	if(live(s,l))return get(s,l);
	double ans=0;
	for(int i=0;i<l;i++) 
		ans+=(max(dfs(del(s,i),l-1)+((s>>i)&1),dfs(del(s,l-i-1),l-1)+((s>>(l-i-1))&1)))/l;
	change(s,l,ans);
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	scanf("%s",str);int s=0;
	for(int i=0;i<Lim;i++)a[i]=-1;
	for(int i=0;i<n;i++)
		s|=((str[i]=='W')<<i);
	printf("%.6lf",dfs(s,n));
}