ACM图论算法—邮递员投递问题

题目描述

著名图论问题之一。邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街，都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎样选择一条最短路线？此问题由中国数学家管梅谷于1960年首先研究并给出算法，故名。
中国邮递员问题——可以叙述为在一个有奇点的图中，通过增加一些重复边，使新图不含奇点，并且重复边的总权为最小问题！

快递员从V1出发给V2、V3、V4、V5、
V6、V7、V8、V9派发快递，求派完所有回到原出发点的最短路径？如下图所示

题目分析

在分析这道题目之前，我们在想这样的一个问题
图1和图2当中哪一个图满足从
图中任何一点出发，途径每条边最终还能回到原点？
图1无奇点不需要走重复边；
图2有奇点需要走重复边。

从上面的结果可以让我们得到一些灵感。

那么一个图应该满足什么条件才能达到上面要求呢？

满足各个结点的度为偶数！在一个多重边的连通图中，从某个顶点出发，经过不同的线路，又回到原出发点，这样的线路必是欧拉图。

定理1：连通的多重图G是欧拉图，当且仅当G中无奇点。
欧拉圈：若存在一个简单圈，过每边一次，且仅一次，则称为欧拉圈。

1、化奇图为偶图，结果如下：

注意：不是将跨越的奇点连接起来！
2、但是上面这样的连接结果是最优方案？如果不是最优方案，那么什么样的指标才算是最优的方案？应该如果去找到这样的最优方案？
最后对化奇图为偶图进行下面两个约束条件调优：
A、在最优方案中，图的每一边最多有一条重复边
B、最优方案中，图中的每一个圈（环）重复边的总权值不大于该圈总权值的一半

下面图是经过A约束条件的调优结果：

B约束条件调优算法执行的步骤：
1、找出图中的一个圈，既一条不存在重复路径的回路
2、计算圈中的重复边的总和D，计算圈的所有边的总和S
3、如果D>S/2，则把这个圈的重复边全部变成单边，单边全部变成重复边
4、重复以上的1,2,3直到不存在D > S/2的情况

最优在A的调优结果基础上面，B调优结果如下：

圈（v2,v3,v4,v9,v2）的总长度为24，但圈上重复边总权为14，大于该圈总长度的一半，因此可以做一次调整，以[v2,v9]，[v9,v4]上的重复边代[v2,v3]，[v3,v4]上的重复边，使重复边总长度下降为17。

但是上面的图还存在可以调优的情况：
圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）的总长度为24，但圈上重复边总权为13，大于该圈总长度的一半，因此可以做一次调整，使重复边总长度下降为15。结果如下图

最终结果

最优方案：v1-v2-v9-v8-v1-v8-v7-v6-v5-v4-v9-v6-v9-v4-v3-v2-v1（任意一个欧拉圈即可）