斐波那契数列经典实例

斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

斐波那契数列按照其递推公式可简单写出递归算法：

int fib1(int n) {
    if(n == 1 || n == 2) 
        return 1;
    return fib1(n-1)+fib1(n-2);
}

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首先是数据范围问题，用long型存储结果数据与用int型同样仅能计算到第46项，第47项开始数据溢出，即便用unsigned long也只能算到47而已。考虑使用字符模拟大整数运算的方法来处理。

其次的运算效率问题，第40项开始已经有明显的等待时间，第46项需等待数秒才能算出结果。 
需考虑其他算法。

可以考虑简单的动态规划，开一个数组存储计算过的数据，避免重复运算，可大幅提高效率（即空间换时间），效率接近线性。但递归算法当计算项数很大是会由于递归过深导致递归栈溢出。

直接开数组通过循环进行递推运算可避免递归过深问题：

int fib2(int n, int f[]) {
    f[0] = f[1] = 1;
    for(int i = 2; i < n; i++) {
        f[i] = f[i-1] + f[i-2];
    }
    return f[n-1];
}

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但是数组难以存储大数，用字符串数组存储又过于浪费空间。

问题描述

　　有一长度为N(1<=Ｎ<=10)的地板，给定两种不同瓷砖：一种长度为1，另一种长度为2，数目不限。要将这个长度为N的地板铺满，一共有多少种不同的铺法？
　　例如，长度为4的地面一共有如下5种铺法：
　　4=1+1+1+1
　　4=2+1+1
　　4=1+2+1
　　4=1+1+2
　　4=2+2
　　编程用递归的方法求解上述问题。

输入格式

　　只有一个数N，代表地板的长度

输出格式

　　输出一个数，代表所有不同的瓷砖铺放方法的总数

样例输入

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样例输出

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解题思路：有经验的人一眼就看出这是一个斐波那契数列然后这题就解完了，但是像我一样的初学者会有一个共同的疑问这题符合这个规律是 怎么推出来的？

 无论给的长度是多少，我们只有两种选择要么选1要么选2假设给的长度是n，那么选第一种剩下的长度就是n-1，

  选第二种剩下的长度就是n-2。以剩下的长度继续选择（n-1）-1和（n-1）-2，（n-2）-1和（n-2）-2之后以此类推

  所以此时n的方案数是长度为n-1的方案数加上长度为n-2的方案数

import java.util.Scanner;

public class Main {

  Scanner scanner = new Scanner(System.in);

while (scanner.hasNext()) {
int n = scanner.nextInt();
int [] arr = new int [n+1]; 
arr[0]=1;arr[1]=1;
for (int i = 2; i < arr.length; i++) {
arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2];
}
System.out.println(arr[n]);
}
}