【DP】【vijos1037】搭建双塔
【问题描述】
受暴力算法的启发，设f(i,j,k)表示能否用前i块水晶搭出一个高度为j,另一个高度为k的塔，能为1，否则为0
2001年9月11日，一场突发的灾难将纽约世界贸易中心大厦夷为平地，Mr. F曾亲眼目睹了这次灾难。为了纪念“9?11”事件，Mr. F决定自己用水晶来搭建一座双塔。 Mr. F有N块水晶，每块水晶有一个高度，他想用这N块水晶搭建两座有同样高度的塔，使他们成为一座双塔，Mr. F可以从这N块水晶中任取M（1≤M≤N）块来搭建。但是他不知道能否使两座塔有同样的高度，也不知道如果能搭建成一座双塔，这座双塔的最大高度是多少。所以他来请你帮忙。 给定水晶的数量N和每块水晶的高度Hi，你的任务是判断Mr. F能否用这些水晶搭建成一座双塔（两座塔有同样的高度），如果能，则输出所能搭建的双塔的最大高度，否则输出“Impossible”。 |
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| 【输入格式】 | |||
第一行为一个数N，表示水晶的数量。 第二行为N个数，第i个数表示第i个水晶的高度。 |
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| 【输出格式】 | |||
输出仅包含一行，如果能搭成一座双塔，则输出双塔的最大高度，否则输出一个字符串“Impossible”。 |
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| 【输入样例】 | |||
5 1 3 4 5 2 |
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| 【输出样例】 | |||
7 |
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| 【数据范围】 | |||
50%的数据：1≤N≤20， N块水晶高度的总和不超过2000； 70%的数据：1≤N≤100， N块水晶高度的总和不超过2000； 100%的数据：1≤N≤100， N块水晶高度的总和不超过500000。 |
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题目大意:给你n个水晶的高度h[i],现在求能否将这些水晶分成三组，且其中一组和另一组的h[i]之和相等。
算法一:暴力搜素O(3^n) 预期得分40
题目要求选n个水晶，对于每一个水晶，都有三种选择:
1.将这个水晶加入第一组,第一组的总高度增加h[i];(也就是把水晶放在第一个塔上)
2.加入第二组。类似1
3.加入第三组(不放)
设函数run(int i,int j,int k)表示当前考虑第i个水晶的放置情况,其中此时第一个塔高j,第二个塔高k。搜素。
代码如下:
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=105;
int n,h[maxn];
int ans=0;
void run(int i,int j,int k)
{
if(i>n)
{
if(j==k)ans=max(ans,j);
return;
}
run(i+1,j,k);//不放
run(i+1,j+h[i],k);//放塔一
run(i+1,j,k+h[i]);//放塔二
}
int main()
{
//freopen("tower.in","r",stdin);
//freopen("tower_dp.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&h[i]);
run(1,0,0);//考虑第一个塔
printf("%d",ans);
return 0;
} 受暴力算法的启发，设f(i,j,k)表示能否用前i块水晶搭出一个高度为j,另一个高度为k的塔，能为1，否则为0
f(i,j,k)=f(i-1,j,k)(不选)||f(i-1.j-h[i],k)(选的第一座塔)||f(i-1,j,k-h[i])(选的第二座塔)
然后查找为1的f[n][i][i]。
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=105;
int n,h[maxn];
bool f[10000][10000];/*注意这样是一种错误设法 正确的数组应该是f[tot/2][tot/2] 但是显然对于本题的规模内存会超128M。所以70分算法在不超过128M的前提下尽量设大了数组*/
/*
f(j,k)=在前i个水晶中选择一些,能否搭成一座塔高度为j,另一座塔高度为k,能1 不能0
f(j,k)=f(j,k) || f(j-h[i],k) || f(j,k-h[i])
f(0,0)=1
*/
int main()
{
freopen("tower.in","r",stdin);
freopen("tower_70.out","w",stdout);
int tot=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&h[i]);
tot+=h[i];
}
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=tot/2;j>=0;j--)
for(int k=tot/2;k>=0;k--)
{
bool t1=f[j][k],t2=0,t3=0;
if(j-h[i]>=0)t2=f[j-h[i]][k];
if(k-h[i]>=0)t3=f[j][k-h[i]];
f[j][k]=t1||t2||t3;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=tot/2;i++)if(f[i][i])
{
ans=i;
}
if(ans<=0)printf("Impossible\n");
else printf("%d\n",ans);
return 0;
} 算法二的主要问题在于空间和时间复杂度还是太高，所以优化从这两方面着手。
空间上重新考虑状态函数f(i,j,k),思考能否从空间上化三维为二维，再用滚动数组优化。
这时候设f(i,j)表示从前i个水晶中选择一些,搭成的两座塔的高度差为j时,塔1的最高高度(假设塔1始终比塔2高)。
考虑第i块水晶的情况,第i块水晶可以不放t1=f(i-1,j),放塔1上t2=f(i-1,j-h[i])+h[i],放塔2上t3=f(i-1,j+h[i])
所以f(i,j)=max{t1,t2,t3}
注意实现时可能出现负数下标，所以要平移下标(宏定义平移)。还有为了节约空间，一定要用滚动数组。
同时时间上少了一重循坏，时间问题也得到了解决。
算法三代码:
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=105;
const int inf=500010;
int n,h[maxn],sum[maxn];
int d[2][2*1000020];
#define f(i,j) d[(i)%2][(j)+500000]
/*
f(i,j)=在前i块水晶中选择一些,使得塔1和塔2的高度差为j时塔1的最大高度(塔1比塔2矮)
f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-h[i])+h[i],f(i-1,j+h[i])}
f(0,0)=0 其余为-inf
*/
void ready()
{
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+h[i];
}
int main()
{
//freopen("tower.in","r",stdin);
//freopen("tower_100.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&h[i]);
ready();//计算前缀和
memset(d[0],-10,sizeof(d[0]));
f(0,0)=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
memset(d[i%2],-10,sizeof(d[i%2]));
for(int j=-sum[i];j<=sum[i];j++)
{
f(i,j)=max(f(i-1,j),max(f(i-1,j-h[i])+h[i],f(i-1,j+h[i])));
}
}
if(f(n,0)>0)printf("%d\n",f(n,0));
else printf("Impossible\n");
return 0;
}