扩展欧拉定理

扩展欧拉定理

ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)           gcd(a,p)=1ab                  gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)    gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)       (mod p)

证明转载自http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361

1. 在 a 的 0 次， 1 次，…， b 次幂模 m 的序列中，前 r 个数( a0 到 ar−1 )互不相同，从第 r 个数开始，每 s 个数就循环一次。
   证明：由鸽巢定理易证。
   我们把 r 称为 a 幂次模 m 的循环起始点， s 称为循环长度。（注意： r 可以为 0 ）
   用公式表述为： ar≡ar+s(mod m)
2. a 为素数的情况
   令 m=prm′ ，则 gcd(p,m′)=1 ，所以 pϕ(m′)≡1(mod m′)
   又由于 gcd(pr,m′)=1 ，所以 ϕ(m′)|ϕ(m) ，所以 pϕ(m)≡1(mod m′) ，
   即 pϕ(m)=km′+1 ，两边同时乘以 pr ，得 pr+ϕ(m)=km+pr （因为 m=prm′ ）
   所以 pr≡pr+s(mod m) ，这里 s=ϕ(m)
3. 推论： pb≡pr+(b−r)%ϕ(m)(mod m)
4. 又由于 m=prm′ ，所以 ϕ(m)≥ϕ(pr)=pr−1(p−1)≥r
   所以 pr≡pr+ϕ(m)≡pr%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
   所以 pb≡pr+(b−r)%ϕ(m)≡pr%ϕ(m)+ϕ(m)+(b−r)%ϕ(m)≡pϕ(m)+b%ϕ(m)(mod m)
   即 pb≡pb%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
5. a 为素数的幂的情况
   是否依然有 ar′≡ar′+s′(mod m) ？(其中 s′=ϕ(m),a=pk )
   答案是肯定的，由2知 ps≡1(mod m′) ，所以 ps×kgcd(s,k)≡1(mod m′) ，所以当 s′=sgcd(s,k) 时才能有 ps′k≡1(mod m′) ，此时 s′|s|ϕ(m) ，且 r′=⌈rk⌉≤r≤ϕ(m)
   由 r′,s′ 与 ϕ(m) 的关系，依然可以得到 ab≡ab%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
6. a 为合数的情况
   只证 a 拆成两个素数的幂的情况，大于两个的用数学归纳法可证。
   设 a=a1a2,ai=piki ， ai 的循环长度为 si
   则 s|lcm(s1,s2) ，由于 s1|ϕ(m),s2|ϕ(m) ，那么 lcm(s1,s2)|ϕ(m) ，所以 s|ϕ(m)
   r=max(⌈riki⌉)≤max(ri)≤ϕ(m)
   由 r,s 与 ϕ(m) 的关系，依然可以得到 ab≡ab%ϕ(m)+ϕ(m)(mod m)
   证毕。