写在前面:
我们知道,一般的平衡树都依赖于旋转操作,如 Treap,Splay,SBT 等,它们都需要用到旋转操作来保持树的平衡。旋转操作在统计一些可以快速合并的信息的时候是没有问题的,但对于更加复杂的信息,就会遇到复杂度的问题。考虑一个简单的例子,我们想在一个平衡树的每个节点上维护一个集合,存储子树内所有的数。此时一次旋转操作的代价可能会达到 O(n) ,传统的旋转平衡树就无法发挥作用了。而重量平衡树则不同,它每次操作影响的最大子树的大小是最坏或者均摊或者期望的O(log n) 。这样即使按照上面所说的方式维护,复杂度也是可以接受的。替罪羊树就是重量平衡树中比较常用的一种,与其他数据结构相比,它的优点有:
①:思维难度小,和其他平衡树的思维难度差不多;
②:代码量少,思路清晰,实现简单,容易调试;
③:速度不慢;
④:不是旋转机制;
替罪羊树:
替罪羊树是一种依赖于暴力重构操作的平衡树。我们定义一个平衡树因子α ,对替罪羊树的每个节点t ,我们都需要满足:max(size l,size r)<=α*szie t其中l,r 分别是t 的左右子树。这个性质称为平衡性质。它的实现方式也非常简洁明了,每次我们进行普通 BST 的插入操作后,都要在这条插入的路径上,寻找最高的(深度最小)不满足平衡性质的节点,(如果有不满足平衡性质节点的话)我们将这个节点以及它的子树内所有节点,暴力重构成一棵完全二叉树。其余操作全部与普通 BST 无异。
简单吧,替罪羊树,下面是替罪羊树,来排序的代码;
代码:
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std ;
ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int q[200005],top;
int id,rt,cnt;
int t,n,ans;
int v[200005],ls[200005],rs[200005],size[200005],fa[200005];
// ls zuo er zi, rs you er zi,size jie dian de er zi ge shu,fa jie dian de fu qing;
//rt geng jie dian ,q chong jian shu de ling shi shu zu
int insert(int &k,int x,int f)
{
if(!k)
{
k=++cnt;
size[k]=1;
fa[k]=f;
return k;
}
if(xsize[k]*0.7)id=k;
size[k]=size[ls[k]]+size[rs[k]]+1;
return k;
}
void build(int &k,int l,int r)
{
if(l>r) return ;
int mid = (l+r)>>1;
k=q[mid];
build(ls[k],l,mid-1);
build(rs[k],mid+1,r);
fa[ls[k]]=fa[rs[k]]=k;
size[k]=size[ls[k]]+size[rs[k]]+1;
}
void dfs(int x)
{
if(!x) return ;
dfs(ls[x]);
q[++top]=x;
dfs(rs[x]);
}
void solve(int x)
{
int pre = fa[x];
dfs(x);
for(int i=1;i<=top;i++)
{
size[q[i]]=fa[q[i]]=ls[q[i]]=rs[q[i]]=0;
}
if(!pre) build(rt,1,top);
else if(ls[pre]==x) build(ls[pre],1,top);
else build(rs[pre],1,top);
fa[ls[pre]]=fa[rs[pre]]=pre;
top=id=0;
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
v[i]=read();
insert(rt,v[i],0);
if(id)
solve(id);
}
dfs(rt);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",v[q[i]]);
return 0;
}
对于题目的要求,我们可以对α做一点文章,比如说
α越小,树越稠密,插入效率低,查询效率高;
α越大,树越稀疏,插入效率高,查询效率低;
做题时就可以根据题目查询与插入个数的多数,选择α;
当然替罪羊树也有缺点:
替罪羊树由于其平衡机制的限制,并不能支持一些复杂的操作,比如常用 Splay 来处理的提取区间的操作。同时由于它是一个用势能来分析的均摊结构,也无法简单的进行可持久化。