k次方幂的和

快速求出1到n的k次方和

1k+2k+3k+...+nk=??? 1 k + 2 k + 3 k + . . . + n k = ? ? ?

有没有什么快速的方法能够推导出上面的公式呢？？

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大家都知道（反正我之前只知道前三个）：

1+2+3+...+n=12(n+1)n 1 + 2 + 3 + . . . + n = 1 2 ( n + 1 ) n

12+22+32+...+n2=16n(n+1)(2n+1) 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

13+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2=[12(n+1)n]2=14(n+1)2n2 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) 2 = [ 1 2 ( n + 1 ) n ] 2 = 1 4 ( n + 1 ) 2 n 2

14+24+34+...+n4=130n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1) 1 4 + 2 4 + 3 4 + . . . + n 4 = 1 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 )

................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

第1个公式的证明：
小学生请出门左拐。

第2个公式的证明：
n3−(n−1)3 n 3 − ( n − 1 ) 3
=n2+n(n−1)+(n−1)2 = n 2 + n ( n − 1 ) + ( n − 1 ) 2
=2n2+(n−1)2−n = 2 n 2 + ( n − 1 ) 2 − n
得到
13−03=2∗12+02−1 1 3 − 0 3 = 2 ∗ 1 2 + 0 2 − 1
23−13=2∗22+12−2 2 3 − 1 3 = 2 ∗ 2 2 + 1 2 − 2
33−23=2∗32+22−3 3 3 − 2 3 = 2 ∗ 3 2 + 2 2 − 3
... . . .
n3−(n−1)3=2n2+(n−1)2−n n 3 − ( n − 1 ) 3 = 2 n 2 + ( n − 1 ) 2 − n
全部相加
n3=3(12+22+32+...+n2)−n2−(1+2+3+...+n) n 3 = 3 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 ) − n 2 − ( 1 + 2 + 3 + . . . + n )
3(12+22+33+...+n2)=n3+n2+12(n+1)n 3 ( 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 ) = n 3 + n 2 + 1 2 ( n + 1 ) n
12+22+33+...+n2=16n(n+1)(2n+1) 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

第三个公式的证明：
n4−(n−1)4 n 4 − ( n − 1 ) 4
=[n2+(n−1)2][n2−(n−1)2] = [ n 2 + ( n − 1 ) 2 ] [ n 2 − ( n − 1 ) 2 ]
=(2n2−2n+1)(2n−1) = ( 2 n 2 − 2 n + 1 ) ( 2 n − 1 )
=4n3−6n2+4n−1 = 4 n 3 − 6 n 2 + 4 n − 1
得到
14−04=4∗13−6∗12+4∗1−1 1 4 − 0 4 = 4 ∗ 1 3 − 6 ∗ 1 2 + 4 ∗ 1 − 1
24−14=4∗23−6∗22+4∗2−1 2 4 − 1 4 = 4 ∗ 2 3 − 6 ∗ 2 2 + 4 ∗ 2 − 1
34−24=4∗33−6∗32+4∗3−1 3 4 − 2 4 = 4 ∗ 3 3 − 6 ∗ 3 2 + 4 ∗ 3 − 1
... . . .
n4−(n−1)4=4n3−6n2+4n−1 n 4 − ( n − 1 ) 4 = 4 n 3 − 6 n 2 + 4 n − 1
全部相加
n4=4(13+23+33+...+n3)−6(12+22+33+...+n2)+4(1+2+3+...+n)−n n 4 = 4 ( 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) − 6 ( 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 ) + 4 ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) − n
4(13+23+33+...+n3)=n4+n(n+1)(2n+1)−2(n+1)n+n 4 ( 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) = n 4 + n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) − 2 ( n + 1 ) n + n
13+23+33+...+n3=14(n+1)2n2 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = 1 4 ( n + 1 ) 2 n 2

应该能发现这个证明的方法的规律了吧（其实就是降次）

后面的递推着推就好

然而博主不会k次方幂的通项公式
这里是%%%ACdreamer的详细讲解