分治法最近点对问题
一种简单的想法是暴力枚举每两个点，记录最小距离，显然，时间复杂度为O(n^2)。
在这里介绍一种时间复杂度为O(nlognlogn)的算法。其实，这里用到了分治的思想。将所给平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。然后在每个子集中递归地求最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果这两个点分别在S1和S2中，问题就变得复杂了。
为了使问题变得简单，首先考虑一维的情形。此时，S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1，x2，...，xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。显然可以先将点排好序，然后线性扫描就可以了。但我们为了便于推广到二维的情形，尝试用分治法解决这个问题。
假设我们用m点将S分为S1和S2两个集合，这样一来，对于所有的p(S1中的点)和q(S2中的点)，有p
递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设
d = min{ |p1-p2| , |q1-q2| }
由此易知，S中最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{q3,p3}，如下图所示。
如果最接近点对是{q3,p3}，即|p3-q3|
此时，一维情形下的最近点对时间复杂度为O(nlogn)。
在二维情形下，类似的，利用分治法，但是难点在于如何实现线性的合并？
由上图可见，形成的宽为2d的带状区间，最多可能有n个点，合并时间最坏情况下为n^2,。但是，P1和P2中的点具有以下稀疏的性质，对于P1中的任意一点，P2中的点必定落在一个d X 2d的矩形中，且最多只需检查六个点（鸽巢原理）。
这样，先将带状区间的点按y坐标排序，然后线性扫描，这样合并的时间复杂度为O(nlogn)，几乎为线性了。
光说不练也不行，经过自己的思考和参考网上的程序，完成了最近点对的程序，并在各OJ上成功AC了。
#include
#include
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#include
#include
using namespace std ;
const int maxn = 1000001 ;
const int INF = 1000000001 ;
struct Point
{
double x , y ;
}point[ maxn ] ;
int n ;
int temp[ maxn ];
bool cmp(const Point& a , const Point& b )
{
if( a.x == b.x )
return a.y < b.y ;
else
return a.x < b.x ;
}
bool cmpy( const int& a , const int& b )
{
return point[ a ].y < point[ b ].y ;
}
double min( double a , double b )
{
return a < b ? a : b ;
}
double dist( int i , int j )
{
return sqrt( (point[ i ].x - point[ j ].x) * ( point[ i ].x - point[ j ].x ) + ( point[ i ].y - point [ j ].y ) * ( point[ i ].y - point[ j ].y ) ) ;
}
double merge( int left , int right )
{
double d = INF ;
if( left == right )
return d ;
if( left + 1 == right )
return dist( left , right ) ;
int mid = ( left + right ) >> 1 ;
double d1 = merge( left , mid ) ;
double d2 = merge( mid + 1 , right ) ;
d = min( d1 , d2 ) ;
int i , j , k = 0 ;
for( i = left ; i <= right ; ++i )
{
if( fabs( point[ mid ].x - point[ i ].x ) <= d )
temp[ k++ ] = i ;
}
sort( temp , temp + k , cmpy ) ;
for( i = 0 ; i < k ; ++i )
for( j = i + 1 ; j < k && point[ temp[ j ] ].y - point[ temp[ i ] ].y < d ; ++j )
{
double d3 = dist( temp[ i ] , temp[ j ] ) ;
if( d > d3 )
d = d3 ;
}
return d ;
}
int main()
{
while( scanf( "%d" , &n ) && n )
{
for(int i = 0 ; i < n ; ++i )
{
scanf( "%lf%lf" , &point[ i ].x , &point[ i ].y ) ;
}
sort( point , point + n , cmp ) ;
printf( "%.2lf\n" , merge( 0 , n - 1 ) / 2 ) ;
}
return 0 ;
}