JZOJ 1322. 硬币游戏

Description

　　FJ的奶牛喜欢玩硬币游戏，所以FJ发明了一个新的硬币游戏。一开始有N（5<=N<=2,000）个硬币堆成一叠，从上往下数第i个硬币有一个整数值C_i（1<=C_i<=100,000）。
　　两个玩家轮流从上倒下取硬币，玩家1先取，可以从上面取1个或2个硬币，下一轮的玩家可以取的硬币数量最少为1个，最多为上一个玩家取的数量的2倍，硬币全部取完比赛结束。
　　已知玩家2绝顶聪明，会采用最优策略，现在请你帮助玩家1，使得玩家1取得的硬币值的和最大。

Input

　　第一行输入N
　　第二至N+1行每行输入一个整数C_i

Output

　　输出玩家1能获得的最大值。

Sample Input

5
1
3
1
7
2

Sample Output

9

Solution

• 这题显然是一道博弈题（“绝顶聪明”），但是传统的搜索过不了这么大的极限数据。

• 观察到目标是求极值，于是我们考虑动态规划。

• 设 F[i][j] 表示还剩余 i 个硬币、上一次对手选了 j 个硬币的最大获利。

• 再设 sum[i][j] 表示从 i 到 j 的价值和（可以用前缀和维护）。

• 那么可得转移方程式：

  F[i][j]=max{sum[i−k+1][i]+(sum[1][i−k]−F[i−k][k])}

• 其中：

  1. sum[i−k+1][i] 表示本次自己拿走第 i 枚硬币的钱数和；
  2. sum[1][i−k]−f[i−k][k] 表示在剩下的局面中自己还能拿的钱数和；
  3. 1≤k≤min(2∗k,i) 。

• 于是我们将上式化简，得：

  F[i][j]=max{sum[1][i]−F[i−k][k]} (1≤k≤min(2∗k,i))

• 但然而这样的 DP 是 O(N3) 的，极限数据会时间超限，要想办法优化成 O(N2) 的。

• 继续观察上式，发现两个相邻状态 F[i][j] 和 F[i][j−1] 有很多重复的转移，

• 代入可以发现只有两个状态是有用的，即：当 k=2∗j 或 k=2∗j−1 时有意义。

• 那么只转移两个状态，时间复杂度就是 O(N2) ，成功通过本题。

Code

#include
using namespace std;
const int N=2001;
int sum[N],f[N][N];
inline int read()
{
    int X=0,w=1; char ch=0;
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return X*w;
}
inline int max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int main()
{
    int n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[n-i+1]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=sum[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
        {
            /*for(int k=1;k<=2*j && k<=i;k++)
                f[i][j]=max(f[i][j],sum[i]-f[i-k][k]); N^3做法 */
            f[i][j]=f[i][j-1];
            int k=2*j-1;
            if(i>=k) f[i][j]=max(f[i][j],sum[i]-f[i-k][k]);
            if(i>=++k) f[i][j]=max(f[i][j],sum[i]-f[i-k][k]);
        }
    printf("%d",f[n][1]);
    return 0;
}