【概率DP】Gym - 101174 - D - Dinner Bet

题目链接http://codeforces.com/gym/101174

题意

$N$ 个球标号为 $1$ 到 $N$，两个人分别写下 $C$ 个数字，每次随机选出 $D$ 个球，若干次后，如果某个人写的 $C$ 个数字都出现过，则游戏结束。问游戏持续回合数的期望。

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题解

概率DP。

$dp[i][j][k]$ 的状态表示两个人的公共数字有 $k$ 个还没被抽到，第一个人有 $i$ 个数字没被抽到，第二个人剩 $j$ 个。$dp[i][j][k]$ 的值表示这种状态下持续回合数的期望。

$dp[0][j][0]$ 和 $dp[i][0][0]$ 的答案都为 $0$，因为此时游戏已经结束了。

假设某一次抽球，抽到 $x$ 个第一个人的数字，$y$ 个第二个人的，$z$ 个共有的，抽到这种情况的概率我们假设是$p$ ：
$$p=\frac{C_i^x\times C_j^y\times C_k^z\times C_{n-i-j-k}^{d-x-y-z}}{C_n^d}$$
假设抽球并没有改变状态，概率是$q$ ：
$$q=\frac{C_d^{n-i-j-k}}{C_n^d}$$
那么转移方程就可以写成：
$$dp[i][j][k]=(dp[i-x][j-y][k-z]+1)p+(dp[i-x][j-y][k-z]+2)pq+\cdots +(dp[i-x][j-y][k-z]+n)p{q}^{n-1}$$
为了方便起见，我们把 $dp[i][j][k]$ 记为 $S$，$dp[i-x][j-y][k-z]$ 记为 $dp$ ，然后利用小学知识化简一下
$$\begin{array}{rl}S& =(dp+1)p+(dp+2)pq+\cdots +(dp+n)p{q}^{n-1}\\ qS& =(dp+1)pq+(dp+2)p{q}^2+\cdots +(dp+n)p{q}^n\end{array}$$
上式减下式得
$$\begin{array}{rl}(1-q)S& =(dp+1)p+pq+p{q}^2+\cdots +p{q}^{n-1}-(dp+n)p{q}^n\\ S& =\frac{(dp+1)p+p\frac{q(1-q^{n-1})}{1-q}-(dp+n)p{q}^n}{1-q}\end{array}$$
然后根据大学知识可得 $q^n=0$，最后化简成：
$$S=\frac{(dp+1)p}{1-q}+\frac{pq}{(1-q{)}^2}$$
所以，只要写六层转移就行了。

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#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double db;
const int N=1e6+7;
db dp[60][60][60];
int n,d,c;
int a[60],b[60];
int na,nb,nc,nd;
int vis[60];
db fac[60];
db C(int n,int m){
    if(n<m) return 0;
    return fac[n]/fac[m]/fac[n-m];
}
int main()
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=50;i++) fac[i]=fac[i-1]*i;
    scanf("%d%d%d",&n,&d,&c);
    for(int i=1;i<=c;i++) scanf("%d",&a[i]),vis[a[i]]+=1;
    for(int i=1;i<=c;i++) scanf("%d",&b[i]),vis[b[i]]+=2;;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(vis[i]==1) na++;
        if(vis[i]==2) nb++;
        if(vis[i]==3) nc++;
    }
    ///printf("%d>>%d>>%d\n",na,nb,nc);
    for(int i=0;i<=na;i++){
        for(int j=0;j<=nb;j++){
            for(int k=0;k<=nc;k++){

                if(i==0&&k==0) continue;
                if(j==0&&k==0) continue;

                for(int x=0;x<=i&&x<=d;x++){
                    for(int y=0;y<=j&&x+y<=d;y++){
                        for(int z=0;z<=k&&x+y+z<=d;z++){

                            if(x==0&&y==0&&z==0) continue;


                            int oth=n-i-j-k;
                            db p=C(i,x)*C(j,y)*C(k,z)*C(oth,d-x-y-z)/C(n,d);
                            db q=C(oth,d)/C(n,d);
                            ///printf("p=%f  q=%f\n",(double)p,(double)q);
                            dp[i][j][k]+=((dp[i-x][j-y][k-z]+1)*p+p*q/(1-q))/(1-q);
                        }
                    }
                }
                ///printf("dp[%d][%d][%d]=%f\n",i,j,k,(double)dp[i][j][k]);
            }
        }
    }
    printf("%.10f\n",(double)dp[na][nb][nc]);
}