51NOD 1661 黑板上的游戏(博弈 找规律)——算法马拉松17(告别奥运)

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1661 黑板上的游戏

Alice和Bob在黑板上玩一个游戏,黑板上写了n个正整数a1, a2, …, an,游戏的规则是

这样的:

1 . Alice占有先手主动权。

2 . 每个人可以选取一个大于1的数字擦去,并写上一个更小的数字,数字必须是整

数,然后由对方进行下一次操作。

3 . 如果擦去的数字是 x (x > 1) ,则写上的数字不能比 x/k 小,但是要比 x 小。这里的

除法为有理数除法。

4 . 不可以擦去任何一个数字 1 ,如果当前无法找到一个数字进行操作,则当前方输。

假设Alice和Bob都会选择最优的策略,请问Alice是否存在必胜的方案?

Input

第一行两个空格隔开的正整数n和k,其中n表示数字的个数,k表示游戏的参数。

第二行n个空格隔开的正整数,其中第i个表示ai。

1 ≤ n ≤ 10^5, 2 ≤ k ≤ 10^18, 1 ≤ ai ≤ 10^18。

Output

如果存在必胜方案,则输出“Alice i y”,其中i和y表示先手的一种能必胜的操作:将第i

个数修改为y。

如果没有,则输出“Bob”表示后手必胜。(输出不含引号)

Input示例

4 2

2 3 3 3

Output示例

Alice 2 2

解题思路:

官方题解(很详细):

固定 k 后对 sg(n) 进行打表,可以发现每个数字第一次出现的位置很有规律,即每隔

几个数字就出现一个已有的数字。删去每个数字的第一次出现位置之后,将剩下的数字

再排成一列,和原来的表是同构的,可以猜测 sg(n) 的递归解是

sg(1)=0,sg(ak+1)=sg(a),sg(ak+b)=a(k1)+b1(1<b<=k,b)

本题为 n 个游戏的和,所以对应的 sg 值为 sg(a1) xor sg(a2) xor ... xor sg(an)

如果 sg 值为 0 ,则后手必胜。

如果 sg 值不为 0 ,则先手必胜,必胜的操作是将下一轮游戏的 sg 值变为 0 ,设当前

sg 值为 m ,则需要找到一组 i y 使得 m=sg(ai) xor sg(y)

sg(y)=m xor sg(aip=m xor sg(ai) q=(p1)/(k1)k+(p1) p=0q=1

可能的 y 只有 q,qk+1,(qk+1)k+1,... 其中小于 ai 的只有 O(logk(ai)) 个,

在其中找一个不小于 ai/k 的即可,枚举 i ,总能找到一个 i 对应的可行的 y

注意向上取整和判断整数溢出。

这里补一个简要证明,基于 sg 函数的定义,一个局面的 sg 值等于其后继局面的 sg

里没出现的最小非负整数,比如本题就是:
sg(n)=mex(sg(n1),sg(n2),...,sg((n1)/k+1))

其中 mex(S) 表示集合 S 中没有出现的最小非负整数,除法是下取整的整数除法。

考虑 n n1 ,它们所对应后继集合最多有两个元素不同,尝试利用数学归纳法来分

析,分析 sg(n) 时,假设已经得到 sg(1),sg(2),...,sg(n1) 满足上述结论。

由于后继局面可以写成一个区间的形式,所以下面的分析用 [L,R] 来简化表示

(sg(L),sg(L+1),...,sg(R))

n=ak+1 时, ak+1 对应的后继是 [a+1,ak] ak 对应的后继是 [a,ak1]

假设 sg(ak+1)sg(a) ,则 sg(ak+1)<sg(a) ,这是因为 a 不是 ak+1 的后

继,如果 sg(a) 不是最小没出现的,那么最小没出现的只能是更小的数。

由于 sg(ak+1) 是一个比 sg(a) 小的数,说明 [a+1,ak] 里没有这个数,那么

[a,ak1] 里更不会有这个数,因此 sg(ak)<=sg(ak+1) ,从而 sg(ak)<sg(a)

但是 sg(ak) 根据归纳假设是 [1,ak] 里最大的值,因此有 sg(a)<=sg(ak) ,与上

述产生矛盾,所以 sg(ak+1)=sg(a)

n=ak+b(1<b<=k) 时, n 对应的后继是 [a+1,n1] n1 对应的

后继是 [a+1,n2]

由上述可以知道 sg(n1)<sg(n) ,这是因为 sg(n1) 没有在 n1 的后继里

出现,所以 sg(n) 只会变大不会变小。

如果 b=2 ,那么 sg(n1)=sg(a) ,则 n 的后继相当于 [a,ak] ,根据归纳假设

这里面的值都是在 0 sg(ak) 之间的,因此 sg(n)=sg(n2)+1

如果 b>2 ,那么同理可得 sg(n)=sg(n1)+1

然后找一下具体的式子即可,有了具体的式子就方便找逆映射了。

需要注意很多的细节问题。。。
My Code

/**
2016 - 08 - 29 下午
Author: ITAK

Motto:

今日的我要超越昨日的我,明日的我要胜过今日的我,
以创作出更好的代码为目标,不断地超越自己。
**/

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const LL INF = 1e18+5;
const int MAXN = 1e6+5;
const LL MOD = 1e9+7;
const double eps = 1e-7;
const double PI = acos(-1);
using namespace std;
LL Scan_LL()///输入外挂
{
    LL res=0,ch,flag=0;
    if((ch=getchar())=='-')
        flag=1;
    else if(ch>='0'&&ch<='9')
        res=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=res*10+ch-'0';
    return flag?-res:res;
}
int Scan_Int()///输入外挂
{
    int res=0,ch,flag=0;
    if((ch=getchar())=='-')
        flag=1;
    else if(ch>='0'&&ch<='9')
        res=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=res*10+ch-'0';
    return flag?-res:res;
}
void Out(LL a)///输出外挂
{
    if(a>9)
        Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
LL a[MAXN], sg[MAXN];
int main()
{
    int n;
    LL k;
    while(~scanf("%d%lld",&n,&k))
    {
        LL ans = 0, tmp, ret, x;
        int j = -1;
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            x = Scan_LL();
            a[i] = x;
            if(x == 1)
                continue;
            tmp = x;
            LL tp1 = x/k;
            LL tp2 = x%k;
            while(tmp)
            {
                if(tp2 == 0)
                {
                    tp1--;
                    tp2 = k;
                    sg[i] = (tp1*(k-1)+tp2-1);
                    ///cout<<"a["<
                    ans ^= sg[i];
                    break;
                }
                else if(tp2 > 1)
                {
                    sg[i] = (tp1*(k-1)+tp2-1);
                    ans ^= sg[i];
                    break;
                }
                else
                {
                    tmp = (tmp-1)/k;
                    tp1 = tmp/k;
                    tp2 = tmp%k;
                }
            }
        }
        if(ans)
        {
            tmp = ans;
            for(int i=1; i<=n; i++)
            {
                if(a[i] == 1)
                    continue;
                LL p = (tmp ^ sg[i]);
                LL q = (p-1)/(k-1)*k+(p-1)%(k-1)+2;
                if(p == 0)
                    q = 1;
                ret = q;
                while(1)
                {
                    if(ret>=a[i] || ret<0)
                        break;
                    LL tp = a[i]/k;
                    if(a[i] % k)
                        tp++;
                    if(ret >= tp)
                    {
                        j = i;
                        goto endW;
                    }
                    ret = ret*k+1;
                }
            }
            endW:;
            printf("Alice %d %lld\n",j, ret);
        }
        else
            puts("Bob");
    }
    return 0;
}

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