数据结构：可合并堆——左偏树

刚刚又看了一遍左偏树的内容，为了加深理解，自己也写一篇，夹杂着许许多多的借鉴。

左偏树是可合并的二叉堆，首先满足所有的堆的性质，其外，它还可以合并。

左偏树的树节点需要保存的信息有：

               1.左右子树节点编号

               2.此节点到有空子结点的结点的最短距离len

               3.自身权值

首先解释一下什么是有空子节点的节点，就是子节点数不足2个的节点，空，就是没有的意思。

左偏树除了堆的所有性质，它还要满足的重要的性质就是“左偏”，这个性质保证了它的操作都是O(logn)的。

左偏就是每个节点的左子节点的len不小于右子节点的len（但并不代表左子节点数一定不小于右子节点数），那么可知len[i] =len[rc[i]]+1，下面附上一张图会方便理解。

圈内是节点权值，蓝字就是len值。

探讨完性质之后，我们来看看它的操作。

堆可以做到的是：插入（O(logn)），查询最值（O(1)），删除堆顶（O(logn)）；

对于左偏树，这些操作都是基于合并的（除了查询最值），而且复杂度都仍然是O(logn)。

左偏树合并操作合并的是两棵左偏树，对于堆的插入，就是合并一棵树和一个节点，对于堆的删除，就是合并根的两棵子树。

那么我们就只需要知道左偏树的合并过程就可以了。

以小根堆为例，假如要合并A, B两个堆并且A < B（这个不满足的话只需要交换一下就可以），而且还要求两棵树的节点没有包含关系，就是没有相同的节点。在递归的过程中，比较B和A的右子树大小，如果B的右子树，那么交换B和A的右子树，接着将B看成刚刚的A，继续交换；如果B>A的右子树，那么继续找这颗树的右子树。而这样可能会破坏左偏的性质，所以需要在回溯的过程中维护左偏性质，通过交换左右子树完成。总的来说，左偏树的核心操作，合并，是在右子树上进行的，又因为要保证每个节点的左子节点的len不小于右子节点的len，而且有len[i] =len[rc[i]]+1，所以知道一棵左偏树的最大len是logn级别的，即使它是一条链，由于左偏性质，它会变成向左偏的一条链，而len的最大值是0，合并的复杂度很低。下面附上图会理解得更清晰：

//经过实践与进一步思考，证明原来自己写的模板有很大问题，最后还是决定按照大家通用的写法写一遍

// 左偏树模板， 以大根堆为例


//结构体
struct node{
	int w, lc, rc, h;
}t[M];

//核心操作 ：合并(函数返回值：树根)
int merge(int A, int B){
	if(!A) return B;
	if(!B) return A;
	if(t[A].w < t[B].w) swap(A, B);
	t[A].rc = merge(t[A].rc, B);
	maintain(A);           //维护A的一些信息(此模板结构体中并没有)，如：子节点数
	if(t[t[A].lc].h < t[t[A].rc].h) swap(t[A].lc, t[A].rc);
	if(t[A].rc) t[A].h = t[A].rc+1;
	else t[A].h = 0;
	return A;
} 

//插入 
void insert(int A, int x){
	cnt++;
	t[cnt].w = x; 
	merge(A, cnt);
} 

//删除
void del(int A){
	merge(t[A].lc, t[A].rc);
}