2018ACM/ICPC徐州站网络赛D Easy Math（杜教筛）

题目链接

题意是给出莫比乌斯函数和n、m，求。

今天看了很久tls的博客，才算对积性函数和杜教筛稍微有了一点了解。链接：点击此处查看原文。

首先，这道题的n和m的范围都很大，所以线性的做法肯定是解决不了问题的。其次，杜教筛有一道求莫比乌斯函数前缀和的模板题（可惜此前我并没有学过杜教筛...据说预处理个值的前缀和的情况下，可以在O()的时间复杂度下求出到n的前缀和...），因此很容易就会往杜教筛上联想，所以需要想办法将问题转化为求莫比乌斯函数的前缀和。

首先，当n含有平方因子时，答案为0；
否则，因为莫比乌斯函数为积性函数，若i与n的任意一个因子d互质，则有，则可得，后面加上的那部分代表d的所有在m以内的倍数乘以n/d的莫比乌斯函数的和，  。为什么要加上它呢？因为当i与d不互质时，i和n/d可能互质，也就是说可能出现但是的情况，如果只含有前面那部分的话相当于多减掉了这部分的，因此需要加上这部分。当然，加上的这部分中肯定也包括了两者都为0的情况，但是都为0对结果没有影响，算上也没关系，方便计算。

由上面的式子可以看出，可以通过递归计算，当出现m=0的情况时，返回0；当出现n=1的情况时，返回前缀和（通过杜教筛计算）。

代码如下：

#include
using namespace std;
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define db double
#define ldb long double
#define m_p make_pair
#define p_b push_back
#define fbo friend bool operator <
const int N = 1000010;
const int mod=1e9+7;
bool notprime[N];
ll prime[N/10],cnt,mu[N];
vector fac;
inline bool Prime(ll x){
	notprime[1]=mu[1]=1;
	For(i,2,N-1){
		if(!notprime[i]) prime[cnt++]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=0;j1) fac.p_b(x);
	return true;
}
unordered_map S;
inline ll Sum(ll x){
  if (x>m>>n;
	if(Prime(n)){
		printf("%lld\n",cal(m,n));
	}
	else printf("0\n");
	return 0;
}