SZU寒训day1

SZU寒训day1

introduction

day1的主要内容是贪心、二分、三分、快速幂。本文纯属做个回顾。

贪心

贪心就是用当前最优来替代整体最优啦。但是不是所有地方都可以这么用，要自行证明当前最优时整体解必然最优。

二分

二分查找
时间复杂度：O（logn） 当然很多时候还需要一个O（nlogn）的快排

二分答案
用于答案有一定范围？验证答案的函数是单调的？（比如求minimax或maximin）
时间复杂度：O（k*nlogn）(k是验证答案的时间)

emmm…基本上弱爆了吧

三分

上面说了二分是在单调函数里找某个值，那三分就是在凹函数或者凸函数里面找极值

若f(x)是凸函数，f(M1)>f(M2)时，R取M2，f(M1)

快速幂

首先来看看求$a^b$的一般写法。

ans=1;
for(int i=0;i<b;i++)
ans*=a;

但当要求b超级无敌大的时候，这种三行的代码就显得那么的苍白无力，于是在二进制的启发下有了快速幂。
首先先看一个例子。求$3^8$怎么做才会快呢？
先拆成乘法，看看有哪些重复运算，把他去掉。
ans=3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 显然这里$3\ast 3$是一个重复运算，我们算一次$3\ast 3=9$代进去就好
ans=9 * 9 * 9 * 9 显然这里$9\ast 9$是重复运算，我们算一次$9\ast 9=81$代进去就好
ans=81 * 81=6561
这样我们用了3次乘法就解决了本来8次乘法的问题了。
废话就说到这了
上代码

ans=1;
while(b)
{
	if(b&1)ans=ans*a;//b&1等价于b%2
	b>>=1;//右移1位，等价于b/=2
	a=a*a;
}

原理
把b化为二进制数，如果是奇数就证明有一个单独的a不能做重复乘法，所以就把它乘了。于是剩下的a是偶数个，可以化为$(a^2)$^(b/2)，此时a*a要重复b遍。所以干脆a=a * a，b/=2，于是就可以变成$a^b$，发现没有，又是$a^b$。于是就是递归啦！

balabala完了看题

HDU 2037

题意

给你一堆电视节目开始结束时间，输出能完整看到的电视节目的个数。

分析

也就是求没有交集的最多区间，冥冥中有种贪心的感觉。
贪啥呢？贪结束时间，先看结束时间早的（让影响后面的节目最少），然后找这个节目结束后开始的结束时间最早的，循环~

解

按结束时间排序 O（nlogn）
遍历一边 O（n）
总时间复杂度 O（nlogn）

HDU - 5969

题意

给定自然数l和r ,选取2个整数x,y满足l <= x <= y <= r ,使得x|y最大。
其中|表示按位或。

分析

要研究一下或运算，有1则1，零零得0。
一开始我的想法是让x=r，让y为[l,r)中最大一个$2^k-1$，这样y在二进制下就是比r小一位，每位都是1的数，那x|y=2^(k+1)-1显然是最大的。但很快我就发现了一个问题，要是[l,r)中没有$2^k-1$怎么办，显然我的答案只是特殊情况。

解

当[l,r)中没有$2^k-1$时，也就是说l跟r二进制下位数相同，那l跟r的二进制形式肯定有左t位相同，第t+1位，r为1，l为0。[l,r]中所有数前t位都会相同，由于|的结果有1则1，r第t+1位为1，|后第t+1位也是1.所以我们只要让y从t+2位开始都是1，而前t+1位与l相同就行。r|y就是答案。（为什么y∈[l,r]呢？）
其实当[l,r)中有$2^k-1$时，这个$2^k-1$也是上面所说y的特殊情况。

代码

#include
using namespace std;
int main()
{
	unsigned long long  n,e[61]={1};
	for(int i=1;i<60;i++)
	e[i]=e[i-1]<<1;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		unsigned long long l,r,w;
		cin>>l>>r;
		w=(l^r);//使用异或求l，r第一位不同的出现在哪
		int wsize=0;
		while(w)
		{
			w>>=1;
			wsize++;
		}
		if(wsize)cout<<((e[wsize-1]-1)|r)<<endl;//前t+1位相同，所以没必要加上了
		else cout<<r<<endl;
	}
	return 0;
}

HDU - 1969

题意

我有n个大小不一的蛋糕，f+1个人分，每个人只吃一块the same size的蛋糕。问最多每个人能吃多少？

分析

乍一看就想平均分了，但是不行，人家宁愿扔了剩下的，也只吃从一个蛋糕上来的一块。好像直接没法求一个人能吃多少。但是要是告诉我每个人吃了多少，我可以求出蛋糕够不够吃。

解

二分答案，范围(0,maxpiesize]，但是这一题卡精度卡得十分难受。

代码

#include
#include
#define PI 3.14159265359//少一位都凉
using namespace std;
double v[10001];
bool comp(double x,double y)
{
	return x>y;
}
int main()
{
	int n,f,m;
	scanf("%d",&m);
	while(m--)
	{	
 	     scanf("%d%d",&n,&f);
	     f++;
	      for(int i=1;i<=n;i++)
	     {
	         scanf("%lf",&v[i]);
	         v[i]=v[i]*v[i];
	     }
	     sort(v+1,v+n+1,comp);
	     n=min(n,f);//饼比人数多时，扔掉 
	     double l=0,m,r=v[1];
	     int cnt;
	     while(r-l>1e-6)//少一位也凉
	     {
	     	m=(r+l)/2;
			cnt=0;
	     	for(int i=1;i<=n;i++)
	     	if(v[i]>=m)
	     	{
	     		cnt+=v[i]/m;
			}
			else break;
	     	if(cnt>=f)l=m;
			else r=m;
		 }
	     printf("%.4f\n",m*PI);
	}
}

ZOJ - 3203

题意

如图，已知H，h，D，求max（L）

分析

搞出他的函数出来，发现是凸函数。

解

三分

代码

#include
using namespace std;
double H,h,d;
double fi(double x) 
{
	return (h*d+H*x-d*x-x*x)/(H-x);
}
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		
		cin>>H>>h>>d;
		double l=0,r=h,m1=l+(r-l)/3,m2=m1+(r-l)/3,fim1=fi(m1),fim2=fi(m2);
		while(abs(fim1-fim2)>1e-6)
		{
			if(fim1>fim2)r=m2;
			else l=m1;
			m1=l+(r-l)/3;
			m2=m1+(r-l)/3;
			fim1=fi(m1);
			fim2=fi(m2);
		}
		printf("%.3lf\n",fim2);
	}
}

POJ - 1995

题意

分析

由于数很大，所以要用以下公式
ab%m=(a%m)(b%m)%m
(a+b)%m=a%m+b%m

解

快速幂

代码

#include
using namespace std;
int main()
{
	int z;
	cin>>z;
	while(z--)
	{
		int m,h,a,b,ans=0;
		cin>>m>>h;
		for(int i=0;i<h;i++)
		{
			cin>>a>>b;
			if(a==0)continue;
			int s=1;
			a=a%m;
			while(b)
			{
				if(b&1)s=s*a%m;
				b>>=1;
				a=a*a%m;
			}
			ans=(ans+s)%m;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
}

UVALive - 5009

题意

F(x) = max(Si(x)), i = 1 . . . n. The domain of x is [0, 1000]. Si(x) is a quadric function.
求the minimum of F(x)（x∈[0,1000]）

分析

画画图就知道F(x)是凹函数，于是就可以三分啦。
求f(x)要算一次n个函数，求最大值。

代码

#include
#define nmax 10001
int a[nmax],b[nmax],c[nmax],t,n;
using namespace std;
double fi(double x)
{
	double ans=a[0]*x*x+b[0]*x+c[0],now;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		now=a[i]*x*x+b[i]*x+c[i];
		if(now>ans)ans=now;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n;
		for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
		double l=0.0,r=1000.0,m1=l+(r-l)/3,m2=m1+(r-l)/3,fim1=fi(m1),fim2=fi(m2);
		while(abs(fim1-fim2)>1e-6)
		{
			if(fim1<fim2)r=m2;
			else l=m1;
			m1=l+(r-l)/3;
			m2=m1+(r-l)/3;
			fim1=fi(m1);
			fim2=fi(m2);
		}
		printf("%.4lf\n",fim1);
	}
}

HRBUST - 2176

题意

有N个人口不一的城市要选举，Mac做了M个投票箱。求他制作投票箱的容量最少是多少，才能让每个城市每个人都可以投票。

分析

跟上面分蛋糕差不多，直接好像没法求。那就逆向思维，猜一个投票箱容量，验证一下行不行。

解

二分

代码

#include
using namespace std;
int n,m,a[500001];
int main()
{
	while(cin>>n>>m&&n!=-1)
	{
		int max=0,ans;
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			cin>>a[i];
			if(a[i]>max)max=a[i];
		}
		int l=1,r=max,mid;
		while(l<r)
		{
			int need=0;
			mid=(l+r)>>1;
			for(int i=0;i<n;i++)
			{
				need+=a[i]/mid;
				if(a[i]%mid!=0)++need;
			}
			if(need<=m)r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		cout<<l<<endl;
	}
} 

POJ 3641

题意

给出p，a两个数，问p是不是关于a的伪素数（即不是素数但符合费马小定理）

分析

费马小定理 emmm~什么东西？别管，按题目模拟就完事儿。

解

快速幂+判素数
注意要开long long

代码

#include
#include
using namespace std;
int isprime(long long  x)
{
	if(x==1)return false;
	long long sqr=sqrt(x);
	for(long long i=2;i<=sqr;i++)
	{
		if(x%i==0)return false;
	}
	return true;
}
int main()
{
	long long p,a;
	while(cin>>p>>a&&p)
	{
		if(isprime(p))
		{
			cout<<"no"<<endl;
			continue;
		}
		long long  mod=p,s=1,aa=a;
		while(p)
		{
			if(p&1)s=s*a%mod;
			p>>=1;
			a=a*a%mod;
		}
		if(s==aa)cout<<"yes"<<endl;
		else cout<<"no"<<endl;
	}
}

HDU - 1575

题意

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），求Tr(A^k)%9973。

分析

矩阵快速幂裸题

代码

#include
struct ooo{
	int v[15][15];
}A;
int n,k;
ooo square(ooo Y,ooo Z)
{
	ooo per;
	for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<n;j++)
	{
		per.v[i][j]=0;
		for(int k=0;k<n;k++)
		per.v[i][j]=(per.v[i][j]+Y.v[i][k]*Z.v[k][j])%9973;
	}
	return per;
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
		scanf("%d",&A.v[i][j]);
		ooo ans;
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			for(int j=0;j<n;j++)
			ans.v[i][j]=0;
			ans.v[i][i]=1;
		}
		
		while(k)
		{
			if(k&1)ans=square(ans,A);
			k>>=1;
			A=square(A,A);
		}
		int sum=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
		sum=(sum+ans.v[i][i])%9973;
		printf("%d\n",sum);
	}
	
}

最后

第一天水题为主。
由于本蒟蒻水平有限，本文仅供参考。（有错轻喷 ）