生成函数

在看牛客网给的题解的参考资料的时候看到了生成函数

不太懂就去查了一下

感觉真的太奇妙了 拍案叫绝

今天数学教我做人

 

参考:http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/05/122290.html

生成函数(母函数)的定义是

有一个数列{an} = {a0, a1, a2, a3, ......, an}

他的生成函数就是f(n) = a0 + a1*x + a2 * x^2 + ... + an * x ^ n

也就是说 这个函数的x的i次幂项的系数对应这个数列的第i项ai

我们首先来看下这个多项式乘法:

母函数图(1)

由此可以看出:

1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。

2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………

n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体(只有1个)。

 

进一步得到:

也就是说 可以用生成函数来求组合数了!

 

举个栗子:

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?

考虑用母函数来解决这个问题:

我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:

1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示,

1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示,

1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示,

1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示,

我们拿1+x^2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示砝码的重量!初始状态时,这里就是一个质量为2的砝码。

那么前面的1表示什么?按照上面的理解,1其实应该写为:1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。

所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2,即表示2克的砝码有两种状态,不取或取,不取则为1*x^0,取则为1*x^2

 

“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“

 

接着讨论上面的1+x^2,这里x前面的系数有什么意义?

这里的系数表示状态数(方案数)

1+x^2,也就是1*x^0 + 1*x^2,也就是上面说的不取2克砝码,此时有1种状态;或者取2克砝码,此时也有1种状态。(分析!)

 

几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)

例如右端有2^x^5 项,即称出5克的方案有2种:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。

故称出6克的方案数有2种,称出10克的方案数有1种 。

 

解题过程

解题时,首先要写出表达式,通常是多项的乘积,每项由多个x^y组成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。

通用表达式为

(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))

K对应具体问题中物品的种类数。

v[i]表示该乘积表达式第i个因子的权重,对应于具体问题的每个物品的价值或者权重。

n1[i]表示该乘积表达式第i个因子的起始系数,对应于具体问题中的每个物品的最少个数,即最少要取多少个。

n2[i]表示该乘积表达式第i个因子的终止系数,对应于具体问题中的每个物品的最多个数,即最多要取多少个。

对于表达式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20),v[3]={1,2,5},n1[3]={0,4,1},n2[3]={2,5,4}。

解题的关键是要确定v、n1、n2数组的值。

通常n1都为0,但有时候不是这样。

n2有时候是无限大。

 

模板:


#include   
using namespace std;  
// Author: Tanky Woo  
// www.wutianqi.com  
const int _max = 10001;   
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目  
// c2是中间量,保存每一次的情况  
int c1[_max], c2[_max];     
int main()  
{   //int n,i,j,k;  
    int nNum;   //   
    int i, j, k;  
  
    while(cin >> nNum)  
    {  
        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①  
        {  
            c1[i] = 1;  
            c2[i] = 0;  
        }  
        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②  
        {  
  
            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③  
                for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④  
                {  
                    c2[j+k] += c1[j]; //我觉得这里因为原来的系数都是1所以单传的相加即可,但是如果原来括号里的系数不是1 还应该乘相应的系数 
                }  
                for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤  
                {  
                    c1[j] = c2[j];  
                    c2[j] = 0;  
                }  
        }  
        cout << c1[nNum] << endl;  
    }  
    return 0;  
}  

①  、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

②  、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。

③、j 从0到n遍历,这里j就是(前面几个表达式累乘的表达式)里第j个变量,如(1+x)(1+x^2)(1+x^3),j先指示的是1和x的系数,i=2执行完之后变为

(1+x+x^2+x^3)(1+x^3),这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。

④ 、 k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。

⑤  、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的。

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