[CF1290C] Prefix Enlightenment：并查集

题意

题目链接

给定一个 $n$ 位 01 串 $S$。

给定 $k$ 个集合 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$，任意三个集合满足 $A_i\cap A_j\cap A_k=\varnothing$。

一次操作被定义为选择一个集合 $A_i$，对集合中的每个元素 $x$ 执行 $S_x\leftarrow S_x\oplus 1$。保证能通过若干次操作使得 $S$ 变为全 1 串。

定义 $m_i$ 为使 $S$ 的前 $i$ 个位置都变成 1 的最小操作次数，我们需要求出 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$。

数据范围：$1\le n,k\le 3\times 10^5$。

题解

首先注意到题目竟然没有给 $\sum |A_i|$ 的数据范围，这让我们感到疑惑这题出错了，于是我们考虑任意三个集合交集为空这个莫名其妙的条件。稍微思考一下即可发现，它的意思是对 $S$ 中任意一个位置，它最多只受两个集合的控制。所以显然 $\sum |A_i|=O(n)$。

知道了这件事情以后，我们就需要考虑从每一位的角度看待问题了：

先设 $x_1,x_2,\cdots ,x_k$ 表示集合 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$ 的状态（选，不选，是 01 变量）

考虑 $S_i$：

• 若 $i$ 不受集合约束，不管（因为保证了答案存在）
• 若 $i$ 只受一个集合 $a$ 约束，则 $x_a=1\oplus S_i$。
• 若 $i$ 受两个集合 $a,b$ 约束，则 $x_a\oplus x_b=S_i$，即 $S_i=0$ 时 $x_a\ne x_b$，$S_i=1$ 时 $x_a=x_b$。

这个给定等于和不等于的条件很容易让我们想到 关押罪犯 那套模型啊。。就是并查集拆点，我们将每个集合 $i$ 的选项分为两个点 $x_{i,0},x_{i,1}$ 分别表示两种选择，则我们的操作是：强制选点，连接 $(x_{a,0},x_{b,0}),(x_{a,1},x_{b,1})$ 或是连接 $(x_{a,0},x_{b,1}),(x_{a,1},x_{b,0})$。

然后接下来我就不太会做了所以我考场没做出来。。我们要维护的答案是一个有些连通块取 min 有些按照强制选点来取然后还要求和的玩意，但事实上我们有一个巧妙的做法（来自 Mohammad_Yasser），我们建一个权为 $+\infty$ 的点，假设我们 $A_i$ 强制选上，只需要将 $x_{i,0}$ 连向这个新点。这样我们就没有了强制选点的操作，接下来就好做了。

时间复杂度 $O(n\log n)$ （我没按秩合并，按秩合并是 $O(n\alpha (n))$ 的）

代码

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN = 600005, INF = 1000000000;
int N, K, a[MAXN]; vector<int> V[MAXN]; char S[MAXN];

int fa[MAXN], val[MAXN], ans;
int get(int x) {
    if (fa[x] != x) fa[x] = get(fa[x]);
    return fa[x];
}
void merge(int x, int y) {
    x = get(x), y = get(y);
    if (x != y) fa[x] = y, val[y] += val[x];
}
inline int va(int x) {
    return min(val[get(x)], val[get(x + K)]);
}

int main() {
    scanf("%d%d%s", &N, &K, S + 1); int i, j;
    for (i = 1; i <= K; ++i) {
        int c, x; scanf("%d", &c);
        while (c--) scanf("%d", &x), V[x].push_back(i);
    }
    for (i = 1; i <= K * 2; ++i) fa[i] = i, val[i] = i > K;
    fa[K * 2 + 1] = K * 2 + 1, val[K * 2 + 1] = INF;
    for (i = 1; i <= N; ++i) {
        if (V[i].size() == 1) {
            int x = V[i][0] + (S[i] == '1') * K;
            ans -= va(V[i][0]), merge(x, K * 2 + 1), ans += va(V[i][0]);
        } else if (V[i].size() == 2) {
            int x = V[i][0], y = V[i][1];
            if (S[i] == '0') {
                if (get(x) != get(y + K))
                    ans -= va(x) + va(y), merge(x, y + K), merge(x + K, y), ans += va(x);
            }
            else {
                if (get(x) != get(y))
                    ans -= va(x) + va(y), merge(x, y), merge(x + K, y + K), ans += va(x);
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}