浅析张量分解（Tensor Decomposition）

一般一维数组，我们称之为向量（vector）,二维数组，我们称之为矩阵（matrix）;三维数组以及多位数组，我们称之为张量（tensor）。

在介绍张量分解前，我们先看看矩阵分解相关知识概念。

一、基本概念

矩阵补全（Matrix Completion）目的是为了估计矩阵中缺失的部分（不可观察的部分），可以看做是用矩阵X近似矩阵M，然后用X中的元素作为矩阵M中不可观察部分的元素的估计。

矩阵分解（Matrix Factorization）是指用 A*B 来近似矩阵M，那么 A*B 的元素就可以用于估计M中对应不可见位置的元素值，而A*B可以看做是M的分解，所以称作Matrix Factorization。

这是因为协同过滤本质上是考虑大量用户的偏好信息（协同），来对某一用户的偏好做出预测（过滤），那么当我们把这样的偏好用评分矩阵M表达后，这即等价于用M其他行的已知值（每一行包含一个用户对所有商品的已知评分），来估计并填充某一行的缺失值。若要对所有用户进行预测，便是填充整个矩阵，这是所谓“协同过滤本质是矩阵填充”。

那么，这里的矩阵填充如何来做呢？矩阵分解是一种主流方法。这是因为，协同过滤有一个隐含的重要假设，可简单表述为：如果用户A和用户B同时偏好商品X，那么用户A和用户B对其他商品的偏好性有更大的几率相似。这个假设反映在矩阵M上即是矩阵的低秩。极端情况之一是若所有用户对不同商品的偏好保持一致，那么填充完的M每行应两两相等，即秩为1。

所以这时我们可以对矩阵M进行低秩矩阵分解，用U*V来逼近M，以用于填充——对于用户数为m，商品数为n的情况，M是m*n的矩阵，U是m*r，V是r*n，其中r是人工指定的参数。这里利用M的低秩性，以秩为r的矩阵M’=U*V来近似M，用M’上的元素值来填充M上的缺失值，达到预测效果。

二、矩阵分解常用方法

Basic mf

Basic MF是最基础的分解方式，将评分矩阵R分解为用户矩阵U和项目矩阵S， 通过不断的迭代训练使得U和S的乘积越来越接近真实矩阵，矩阵分解过程如图：

预测值接近真实值就是使其差最小，这是我们的目标函数，然后采用梯度下降的方式迭代计算U和S，它们收敛时就是分解出来的矩阵。我们用损失函数来表示误差（等价于目标函数）：

上式中R_ij是评分矩阵中已打分的值，U_i和S_j相当于未知变量。为求得公式1的最小值，相当于求关于U和S二元函数的最小值（极小值或许更贴切）。通常采用梯度下降的方法：

依他 是学习速率，表示迭代的步长。其值为1.5时，通常以震荡形式接近极值点；若<1迭代单调趋向极值点；若>2围绕极值逐渐发散，不会收敛到极值点。具体取什么值要根据实验经验。

Regularized mf

正则化矩阵分解是Basic MF的优化，解决MF造成的过拟合问题。其不是直接最小化损失函数，而是在损失函数基础上增加规范化因子，将整体作为损失函数。

红线表示正则化因子，在求解U和S时，仍然采用梯度下降法，此时迭代公式变为：

其中，

梯度下降结束条件：f(x)的真实值和预测值小于自己设定的阈值

三、张量CP分解

CP分解的张量形式：
将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张量可以分解为

CP分解的矩阵形式:
因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如

利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式

CP分解的计算：
以一个三阶张量X为例，假定成分个数R已知，目标为:

作为ALS的一个子问题，固定B和C，求解A;固定A和C求解B；再固定B和C求解A。比如固定B和C，求解A如下:

得到：

再通过归一化分别求出A和

四、张量Tucker分解

Tucker分解是一种高阶的主成分分析，它将一个张量表示成一个核心（core）张量沿每一个mode乘上一个矩阵。

对于三阶张量 来说，其Tucker分解为

容易看出，CP分解是Tucker分解的一种特殊形式：如果核心张量是对角的，且P=Q=R，则Tucker分解就退化成了CP分解。

Tucker分解的矩阵形式
三阶Tucker分解的展开形式为

Tucker分解可以推广到高阶张量

Tucker分解的计算
HOSVD：利用SVD对每个mode做一次Tucker1分解（截断或者不截断）。HOSVD不能保证得到一个较好的近似，但HOSVD的结果可以作为一个其他迭代算法（如HOOI）的很好的初始解。

为了导出HOOI迭代算法，先考虑目标函数：

从而应该满足

目标函数的平方变为：

所以问题可以进行如下转化：

利用交替求解的思想，问题变为解如下子问题:

五、张量分解相关开源库

幸运的是，现在已经有不少封装好的开源的张量分解相关的库，支持matlab，C++,python等多种语言。

• Matlab: N-way Toolbox,CuBatch,PLS_Toolbox,Tensor Toolbox.
• C++:HUJI Tensosr Library(HTL)

这里主要介绍一下Tensor Toolbox，因为这个比较方便。
下载地址：http://www.sandia.gov/~tgkolda/TensorToolbox/index-2.6.html
参考手册：https://wenku.baidu.com/view/5c7d89c9de80d4d8d15a4ffd.html

里面提供的函数主要有如下：

1、ALS交替最小二乘法求张量CP分解

P = CP_ALS(X,R)——计算张量X秩为R的最佳近似CP分解，P=[P.lambda, P.U]
[P,U0,out] = CP_ALS(…) also returns additional output that contains the input parameters.
% Examples:
% X = sptenrand([5 4 3], 10);
% P = cp_als(X,2);
% P = cp_als(X,2,’dimorder’,[3 2 1]);
% P = cp_als(X,2,’dimorder’,[3 2 1],’init’,’nvecs’);
% U0 = {rand(5,2),rand(4,2),[]}; %<– Initial guess for factors of P
% [P,U0,out] = cp_als(X,2,’dimorder’,[3 2 1],’init’,U0);
% P = cp_als(X,2,out.params); %<– Same params as previous run

2、交替泊松回归求张量X的非负CP分解

M = CP_APR(X, R) computes an estimate of the best rank-R
M = CP_APR(X, R, ‘param’, value, …)
[M,M0] = CP_APR(…) also returns the initial guess.
[M,M0,out] = CP_APR(…) also returns additional output.

3、乘数更新求非负CP分解

cp_nmu - Compute nonnegative CP with multiplicative updates.
cp_opt - Fits a CP model to a tensor via optimization.
cp_wopt - Fits a weighted CP model to a tensor via optimization.
create_guess - Creates initial guess for CP or Tucker fitting.
create_problem - Create test problems for tensor factorizations.
export_data - Export tensor-related data to a file.
import_data - Import tensor-related data to a file.

Y=khatrirao(A,B) 计算具有相同列数的矩阵A和B的khatri-rao积

4、构造稀疏均匀随机张量

sptenrand - Sparse uniformly distributed random tensor.
R=sptenrand(sz,density) creates a random sparse tensor of the specified sz with approximately density*prod(sz) nonzero entries.
R = sptanrand(sz,nz) creates a random sparse tensor of the specified sz with approximately nz nonzero entries.

% Example: R = sptenrand([5 4 2],12);

5、HOOI算法做张量Tucker分解

tucker_als - Higher-order orthogonal iteration.

举例：
% X = sptenrand([5 4 3], 10);
% T = tucker_als(X,2); %<– best rank(2,2,2) approximation
% T = tucker_als(X,[2 2 1]); %<– best rank(2,2,1) approximation
% T = tucker_als(X,2,’dimorder’,[3 2 1]);
% T = tucker_als(X,2,’dimorder’,[3 2 1],’init’,’nvecs’);
% U0 = {rand(5,2),rand(4,2),[]}; %<– Initial guess for factors of T
% T = tucker_als(X,2,’dimorder’,[3 2 1],’init’,U0);

6、各种矩阵，张量乘积等

六、张量分解应用

因为做的是跟交通有关的研究，前段时间看过一个张量分解在轨迹时间预测上的应用，列出来作为参考学习。

论文：Yilun Wang,Yu Zheng.Travel Time Estimation of a Path using Sparse Trajectories 2014 KDD
论文中的数据和代码： http://research.microsoft.com/apps/pubs/?id=217493
如果感兴趣可以看看这篇论文，很棒！

问题描述：通过司机历史轨迹预测司机在某条轨迹的行驶时间。这里面有一个重要的问题，那就是数据稀疏性问题，因为司机不可能走过所有的道路，此时就用到张量分解。

如上图，这里有四条轨迹，我们需要根据这几条轨迹，预测r1->r2->r3->r4这条轨迹的行驶时间，发现r4是没有走过的，此时就需要用某个方法预测出来。

构造一个三维张量：。张量的三个维度分别为：路段ID,时间段，司机。

将张量分解为一个核心张量，和三个矩阵：

选择用Tucker分解，目标函数如下：

其中是加的正则向，避免过拟合。

因此，

分解完整算法如下：

代码如下：

function [S,R,U,T] = catd(A, Y, X, epsilon) 
size(A)
% size of core Tensor
dimR = 5;
dimU = 5;
dimT = 5;

% step size
t0 = 10000000000000; 
t = t0;

lambdaR = 0.01;
lambdaU = 0.01;
lambdaT = 0.01;
lambdaS = 0.01;
lambdaY = 0.01;
lambdaX = 0.01;

dim1 = size(A, 1);
dim2 = size(A, 2);
dim3 = size(A, 3);

%initialize S R U T F G with small random values
S = tenrand(dimR, dimU, dimT);

R = rand(dim1, dimR);
U = rand(dim2, dimU);
T = rand(dim3, dimT);
F = rand(dimR, size(Y, 2));
G = rand(dimT, size(X, 2));

[indexs, values] = find(A);
turn = 1 : length(values);

% initialize function loss
loss_t = epsilon + 1;
loss_t1 = 0;

while abs(loss_t - loss_t1)> epsilon   
    % optimize each element in randomized sequence   
    for num = 1 : length(values) - 1     
        change = randi([num + 1, length(values)]);
        temp = turn(num);
        turn(num) = turn(change);
        turn(change) = temp;
    end

    for num = 1 : length(values) % for every nonzero entries in A
        if (isnan(S(1, 1, 1)))  % check for NAN
            disp nanerror;
            return;
        end

        tnum = turn(num);
        nita = 10 / sqrt(t);  % step size
        t = t + 1;
        i = indexs(tnum, 1);
        j = indexs(tnum, 2);
        k = indexs(tnum, 3);

        Ri = R(i, :)';
        Uj = U(j, :)';
        Tk = T(k, :)';

        SRi = double(ttv(S, {Ri}, 1));
        Fijk = Uj' * SRi * Tk;

        Yijk = values(tnum);
        Lfy = Fijk - Yijk;
        nitaLfy = nita * Lfy;

        SUj = double(ttv(S, {Uj}, 2));
        RLfy = nitaLfy * SUj * Tk;
        ULfy = nitaLfy * SRi * Tk;
        TLfy = nitaLfy * (Uj' * SRi)';

        SLfy = tensor(ktensor({nitaLfy * Ri, Uj, Tk}));
        Rfx = (Ri' * F - Y(i, :));
        Tfx = (Tk' * G - X(k, :));
        R(i,:) = ((1 - nita * lambdaR) * Ri - RLfy )'- (nita * Rfx * F');
        U(j,:) = ((1 - nita * lambdaU) * Uj - ULfy)';       
        T(k,:) = ((1 - nita * lambdaT) * Tk - TLfy)' - (nita * Tfx * G');
        S = (1 - nita * lambdaS) * S - SLfy;

        F = F - nita * (Rfx' * Ri')' - nita * lambdaY * F;
        G = G - nita * (Tfx' * Tk')' - nita * lambdaX * G;  
    end

    % compute function loss 
    c = size(values);
    for j = 1 : length(values)
        ijk = ttv(S, {R(indexs(j, 1), :)', U(indexs(j, 2), :)', T(indexs(j, 3), :)'});
        c(j) = ijk;
    end
    loss_t = loss_t1;
    loss_t1 = norm(c'-values); 
    disp(loss_t1);
end   
dlmwrite('R.txt',R,'delimiter', '\t','precision','%6.2f') 
dlmwrite('U.txt',U,'delimiter', '\t','precision','%6.2f') 
dlmwrite('T.txt',T,'delimiter', '\t','precision','%6.2f') 
save S.mat
end

我写的测试代码如下：

clear all;

disp('read the data set.......')
A_data=importdata('./A_TEST.txt');

subs=[single(A_data(:,1)),single(A_data(:,3)),single(A_data(:,2))];
vals=single(A_data(:,4));

%mark the size of the matrix.
a = max(subs(:,1));
b = max(subs(:,2));
c= max(subs(:,3));

%construct the tensor
A_SP= sptensor(subs,vals,[a b c]);
A= tensor(A_SP);

Y=importdata('./Y_TEST.txt');
Y=Y(1:a,:);
X=importdata('./temporal_X.txt');

epsilon=0.0001;
[S,R,U,T] = catd(A,Y,X,epsilon);

张量分解，如果维度比较大，内存要求很高，咱们一般的机子很有可能承受不了，因此最好是在服务器上安装matlab跑实验。

七、参考资料

1、Tamara G. Kolda， Brett W. Bader .Tensor Decompositions and Applications
2、彭毅 张量分解（ppt）
3、Yilun Wang,Yu Zheng.Travel Time Estimation of a Path using Sparse Trajectories 2014 KDD