聊聊推荐系统的相似度计算方法

个性化推荐系统的各种推荐算法中，大都会涉及用户或物品间的相似度计算，相似度计算方法也是推荐算法的核心之一，传统的推荐算法（如协同过滤、基于物品的推荐等）采用的相似度计算公式主要有：余弦夹角、欧氏距离、杰卡德系数和皮尔森相关系数等，那么这些方法具体有哪些差异，在推荐算法中该如何选择，下面将着重基于这两个方面进行分析说明。
1）余弦夹角 和 欧氏距离
在向量空间中，任意两点（设为A、B）间的关系可通过余弦夹角和欧式距离来衡量，其中余弦夹角衡量的是A和B在空间方向上的差异，欧式距离是A和B在空间位置上的差异。因此，两者的差异主要体现：
（1）欧氏距离从向量间的绝对距离区分差异，计算得到的相似度值对向量各个维度内的数值特征非常敏感，而余弦夹角从向量间的方向夹角区分差异，对向量各个维度内的数值特征不敏感；
（2）余弦夹角公式对向量进行了归一化处理，解决了向量个体间存在度量标准不统一问题产生的计算偏差；
（3）余弦夹角的值域区间为[-1,1]，相对于欧式距离的值域范围[0,正无穷大],能够很好的对向量间的相似度值进行了量化。
因此，在推荐系统场景下，推荐算法大都采用余弦夹角进行用户（或物品）的相似度计算。当然，欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，一般用于需要从维度的数值大小中体现差异的相关度分析（如从用户行为指标分析用户价值的相似度或差异）。
2）余弦夹角 和 皮尔森相关系数
皮尔森相关系数是用于衡量任意两个变量间线性相关程度的统计量，系数值越大相关性越强，值域范围为[-1,1]。在推荐系统的用户（或物品）间相似度计算过程中，余弦夹角和皮尔森相关系数的定义公式相似，具体如下：
（1）余弦夹角公式：

（2）皮尔森相关系数公式：

从两者的定义公式可知，相对于余弦夹角公式，皮尔森相关系数公式对变量进行了均值化（或去中心化）处理，其好处是减少变量个体的数值差异对变量间相似度的影响。举个例子，用户A习惯对所有物品的评分范围为[1,3]，而用户B习惯对所有物品的评分范围为[3,5]，因各自评分数值标准的差异，采用余弦夹角公式计算两者的相似度比较低，但实际上两者的相似度是很高的。因此，在实际的推荐系统中，大都采用皮尔森相关系数公式或者下面的修正余弦夹角公式。
（3）修正的余弦夹角公式（以计算物品i和j的相似性为例）：

其中i,j代表两个物品，u代表用户，Ru,i代表用户u对物品i的评分，Ru￣代表用户u对所有物品评分的均值，对比发现，修正的余弦夹角公式与皮尔森相关系数公式非常相似。
（4）皮尔森相关系数公式（以计算物品i和j的相似性为例）：

两者的差异主要在评分均值的计算方式上，修正的余弦夹角计算的是用户的评分均值，皮尔森相关系数计算的是物品的评分均值。可以推断，在计算用户i和j的相似性时，两者的计算公式是完全一致的。
3）余弦夹角 与 杰卡德系数
杰卡德系数是衡量两个集合间相似性的常用公式，其定义如下：

从杰卡德系数的计算公式可知，其限制了A和B的取值范围（0或1），当然，将A或B进行向量化后即可进行余弦夹角公式进行计算，相对余弦夹角，杰卡德系数计算公式的优势是其计算复杂度不高。因此在推荐系统中，若样本的特征值为二值（0或1），大都采用杰卡德系数或者其推广公式，比如在基于物品的协同过滤推荐算法中计算物品间的相似度。

参考文档链接：
https://www.zhihu.com/question/21824291
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b59de07010166z9.html