Java常用算法三：01背包问题

笔记来源： 尚硅谷

一、动态规划

1、简介

1. 动态规划（Dynamic Programming）算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

2、应用场景：背包问题

以下是经典的01背包问题【每个物品不能重复】：

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

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二、01背包问题

问题如上

1.1 分析过程

1. 我们首先构造一张最大价值表【比如（吉他i，1磅j）表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值】，0磅，1磅。。。代表当前背包容量：

2. 从吉他开始往里面填入，当背包为0磅时，吉他不能放入，所以背包此时最大价值（吉他，0磅）=0，同理，当背包容量为1磅时，吉他可以放入，所以最大价值为吉他的价值：1500

   

3. 因为吉他只能放一个，所以接下来的最大价值全部填写1500

4. 接下来我们分析音响

   音响在背包为0磅时不能放入，所以（音响，0磅）=0，当背包为1磅时，音响重量为4磅，也不能放入，所以直接复制在背包为1磅时装吉他的最大价值：

   

5. 当背包为2磅和3磅时，同理。

   

6. 当背包为4磅时，音响可以装入，且没有空余空间。这时就要分析，我们装入音响，背包最大价值有没有上面一个方格【在背包为4磅时装吉他的最大价值】高，如果有，则直接替换，没有，则依然复制：

   

7. 分析电脑，我们运用之前的策略，可以解决3磅之前的问题：

   

8. 最关键的是：然后对于4磅，我们尝试装入电脑，且有空余空间，则将max【剩余空间最大价值】加上：

   

   然后将这个价值3500与上面一个方格的3000对比，发现3500大，所以填3500（GL）

1.2 java实现01背包问题求解

算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量, C为背包的容量。再令v[i] [j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:

代码如下：

public class DP {

	public static void main(String[] args) {
		int[] weight = {1, 4, 3};//物品的重量
		int[] value = {1500,3000,2000};//物品的价值
		int capacity = 4;//背包的容量
		int n = value.length;//物品的个数
		
		//为了记录放入商品的情况，我们定义一个二维数组
		int[][]path = new int[n+1][capacity+1];
		
		
		//创建二维数组，表
		//v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
		int[][] v = new int[n+1][capacity+1];
		
		//初始化第一行和第一列【默认是0，可不处理】
		
		
		//动态规划处理
		for(int i = 1; i < v.length; i++) {//不处理第一行
			for(int j = 1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列
				if(weight[i-1] > j) {//因为我们程序i是从1开始的，因此原来公式中的w[i]修改成w[i-1]
					//不可以装入
					v[i][j] = v[i-1][j];
				}else {
					//可以装入
					//v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], value[i-1] + v[i-1][j-weight[i-1]]);
					//为了记录商品存放到背包的情况，不能直接使用上面公式
					if(v[i-1][j] < value[i-1] + v[i-1][j-weight[i-1]]) {
						v[i][j] = value[i-1] + v[i-1][j-weight[i-1]];
						//把当前情况记录到path
						path[i][j] = 1;
					}else {
						v[i][j] = v[i-1][j];
					}
				}
			}
		}
		
		//打印数组
		printTable(v);
		
		System.out.println("===================================");
	
		int i = path.length - 1; //行的最大下标
		int j = path[0].length - 1;
		//列的最大下标
		while(i > 0 && j > 0){//从path的最后开始找
			if(path[i][j] == 1) {
				System.out.printf("第%d个商品放入背包\n", i);
				j-=weight[i-1];
			}
			i--;
		}
	}
	
	private static void printTable(int[][] v) {
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length; j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
	}

}

打印结果如下：