P5766 [NOI1999]最优联通子集（树形dp）

最优联通子集

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这题在北大网站上也有POJ.1192 最优联通子集

Description
众所周知，我们可以通过直角坐标系把平面上的任何一个点P用一个有序数对(x, y)来唯一表示，如果x, y都是整数，我们就把点P称为整点，否则点P称为非整点。我们把平面上所有整点构成的集合记为W。
定义1 两个整点P1(x1, y1), P2(x2, y2)，若|x1-x2| + |y1-y2| = 1，则称P1, P2相邻，记作P1~P2，否则称P1, P2不相邻。
定义 2 设点集S是W的一个有限子集，即S = {P1, P2,…, Pn}(n >= 1)，其中Pi(1 <= i <= n)属于W，我们把S称为整点集。
定义 3 设S是一个整点集，若点R, T属于S，且存在一个有限的点序列Q1, Q2, ?, Qk满足:

1. Qi属于S（1 <= i <= k）;
2. Q1 = R, Qk = T;
3. Qi~Qi + 1(1 <= i <= k-1)，即Qi与Qi + 1相邻;
4. 对于任何1 <= i < j <= k有Qi ≠ Qj;
   我们则称点R与点T在整点集S上连通，把点序列Q1, Q2,…, Qk称为整点集S中连接点R与点T的一条道路。
   定义4 若整点集V满足：对于V中的任何两个整点，V中有且仅有一条连接这两点的道路，则V称为单整点集。
   定义5 对于平面上的每一个整点，我们可以赋予它一个整数，作为该点的权，于是我们把一个整点集中所有点的权的总和称为该整点集的权和。
   我们希望对于给定的一个单整点集V，求出一个V的最优连通子集B，满足：
5. B是V的子集
6. 对于B中的任何两个整点，在B中连通；
7. B是满足条件(1)和(2)的所有整点集中权和最大的。

Input
第1行是一个整数N（2 <= N <= 1000），表示单整点集V中点的个数；
以下N行中，第i行(1 <= i <= N)有三个整数，Xi, Yi, Ci依次表示第i个点的横坐标，纵坐标和权。同一行相邻两数之间用一个空格分隔。-10^6 <= Xi, Yi <= 10^6；-100 <= Ci <= 100。

Output
仅一个整数，表示所求最优连通集的权和。

Sample Input
5
0 0 -2
0 1 1
1 0 1
0 -1 1
-1 0 1

Sample Output
2

题意分析

给定一个平面整点集，点与点间在|x1-x2| + |y1-y2| = 1时相邻，且形成的图没有回路， 每个点有一个可正可负的权值，求最大权和连通子图

解题思路

其实就是一个求无向树的所有子树和的最大值
树形dp
f[i][0]表示以i为根，不包括i结点的子树获得最大权
f[i][1]表示以i为根，包括i结点的子树获得的最大权
f[i][0] = max(f[k][0], f[k][1]) k为i的所有孩子结点
f[i][1] = i结点的权 + f[k][1]
但是可能会有负数
所以要和零比较

AC代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,tot,x[10005],y[10005],z[10005],b[10005],head[10005],f[10005][2];
struct node 
{
	int to,next;
}a[20005];
void add(int x,int y)//建表
{
	a[++tot]=(node){y,head[x]};
	head[x]=tot;
}
void dp(int x)//树形dp
{
	f[x][1]=z[x];//包含i点的初值
	for(int i=head[x];i;i=a[i].next)//枚举当前点的子节点
	{
		if(b[a[i].to]==1)continue;//如果标记过就跳过，免得形成环
		b[a[i].to]=1;//标记
		dp(a[i].to);//递归子节点
		f[x][0]=max(f[x][0],max(f[a[i].to][0],f[a[i].to][1]));//状态转移
		f[x][1]+=max(0,f[a[i].to][1]);//和零比
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&z[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)//建图
	 for(int j=1;j<=n;j++)
	  if(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])==1){add(i,j);add(j,i);}
	b[1]=1;//标记
	dp(1);//dp
	printf("%d",max(f[1][0],f[1][1]));//两者其一，找最大  
}

谢谢