2020.03.04模拟赛12（第五题）

5.greatest

题目描述

已知若干个正整数的和为S，求这若干个正整数的最小公倍数的最大值。

输入

第一行一个整数T，表示测试数据的组数。
接下来T行，每行包括一个正整数S，表示若干个正整数的和为S。

输出

输出T行，每行包括一个整数，表示和为S的若干个正整数的最小公倍数的最大值。

样例输入

2
4
7

样例输出

4
12

数据范围限制

样例中第一组数据S=4，它能分解成S=1+1+1+1，S=1+1+2，S=1+3，S=2+2，S=4，很明显S=4时最小公倍数为4，是所有情况中最小公倍数最大的；第二组数据S=7，它能分解成S=3+4，3和4的最小公倍数是12，也是所有情况中最小公倍数最大的。

提示

40%的数据：S≤100；
80%的数据：S≤330，结果不会超过long long类型；
100%的数据：2≤S≤500，T≤10，结果不会超过25位整数。

正解
首先要证明选的数只能是质数的任意次幂。
证明非常简单，因为最小的质数是二，而对于任意的两个质数x1、x2，他们的幂次为y1、y2，都有
x1^y1+x2y2y1乘x2^y2
也就是说，选任意的合数都不如选它的分解质因数合算。
比如选24，不如选2,2,2,3合算。
然后得到了这个证明，我们就可以继续往下做。
DP：设f[i]表示i最多可以组成多大的数，我们可以得到以下转移方程：
7 (f[7-2²]=f[3])乘2²=12
f[i]=max{f[i-j^k]*(j^k)}(j∈素数,j^k<=i)
于是，我们可以先预处理出500以内的素数，在进行以上DP，最后处理询问。
注意：
由于DP的无后效性，循环i时要倒序。

小技巧
这里，我们要用高精度，但我们可以用个东西
__int128

这个东西最大是128位数的整型，可以乘，可以加……
但是有一些注意事项
1.不能用cin和scanf输入，要手写输入函数
2.不能用cout和printf输出，要手写输出函数（就像下面一样）

void sc(__int128 x)//输出代码
{
	o=0;
    while(x!=0)
	{
		c[++o]=x%10;
		x=x/10;
	}
	for(int i=o;i>=1;i--)
	 cout<<c[i];
	cout<<endl; 
}

3.Dev—C++上面运行会错误，但在评测网站上就OK（网站例洛谷、gmoj等等）

AC代码

#include
#include
using namespace std;
long long t,s,o,tot,a[1005],b[1005],c[1005];
__int128 f[1005];
void sc(__int128 x)//输出函数
{
	o=0;
    while(x!=0)
	{
		c[++o]=x%10;
		x=x/10;
	}
	for(int i=o;i>=1;i--)
	 cout<<c[i];
	cout<<endl; 
}
int main()
{
	freopen("greatest.in","r",stdin);
	freopen("greatest.out","w",stdout);
	for(int i=2;i<=500;i++)//筛选法
	 if(a[i]==0)
	  {
	  	b[++tot]=i;
	  	for(int j=i+i;j<=500;j+=i)
	   	 a[j]=1;
	  }
	for(int i=0;i<=500;i++)f[i]=1; //初值
	for(int i=tot;i>=1;i--)//质数
	 for(int j=500;j>=b[i];j--)
	  for(int k=b[i];k<=j;k*=b[i])//质数的幂
	   if(k<=j)f[j]=max(f[j],f[j-k]*k);
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		cin>>s;
		sc(f[s]);//直接用输出函数输出
	}
	return 0;
}

下面附本次比赛的其它题目

2020.03.04模拟赛12（第一题）
2020.03.04模拟赛12（第二题）
2020.03.04模拟赛12（第三题）
2020.03.04模拟赛12（第四题）
2020.03.04模拟赛12（第五题）
2020.03.04模拟赛12（总结）

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