洛谷 5308 [COCI2019] Quiz 题解
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题意简述
有 n n n 个人， k k k 轮比赛。每次如果淘汰了 x x x 个人，还剩下 m m m 个人，得分增加 x m \dfrac{x}{m} mx 的奖金。。假设你能控制每次淘汰多少人，最大化得分。
思路
设 d p [ i ] dp[i] dp[i] 表示现在还剩下 i i i 个人的最优方案 （先不考虑轮数）。
那么 d p [ i ] = m a x ( d p [ j ] + i − j i ) dp[i]=max(dp[j]+\dfrac{i-j}{i}) dp[i]=max(dp[j]+ii−j)，其中 0 ≤ j < i 0\le j0≤j<i
显然能斜率优化。
觉得不显然的小伙伴们看一下：
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斜率优化式子：
若 j ≥ k j\ge k j≥k 且 j j j 优于 k k k，那么
d p [ j ] + i − j i > d p [ k ] + i − k i dp[j]+\dfrac{i-j}{i}>dp[k]+\dfrac{i-k}{i} dp[j]+ii−j>dp[k]+ii−k
d p [ j ] − j i > d p [ k ] − k i dp[j]-\dfrac{j}{i}>dp[k]-\dfrac{k}{i} dp[j]−ij>dp[k]−ik
d p [ j ] − d p [ k ] > j − k i dp[j]-dp[k]>\dfrac{j-k}{i} dp[j]−dp[k]>ij−k
由于 j ≥ k j\ge k j≥k，所以 j − k > 0 j-k>0 j−k>0，直接除
d p [ j ] − d p [ k ] j − k > 1 i \dfrac{dp[j]-dp[k]}{j-k}>\dfrac{1}{i} j−kdp[j]−dp[k]>i1
也就是 s l o p e ( k , j ) > 1 i slope(k,j)>\dfrac{1}{i} slope(k,j)>i1 时， k k k 就没用了。
而如果每一个时刻 k k k 没用了，后面 i i i 更大， 1 i \dfrac{1}{i} i1 更小， k k k 更不可能有用。这个是弹队首的条件。
其次可以看出来，这个队列是斜率单调递减的。这个就是加入队尾的条件。
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然后我们就发现一个问题： k k k 的限制怎么办？
上 w q s wqs wqs 二分： 对于每个转移过来的 j j j，我们给他加上一个附加权值 x x x。显然， x x x 加的越多，选的段数越少。转移的时候记录一下段数，二分即可。
最后的答案是 a n s − x × k ans-x\times k ans−x×k，一定要记住了，是 k k k。
代码
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