Eratosthenes筛选法与欧拉筛选法(整理)

一、算法原理

一个合数总是可以分解成若干个质数的乘积，那么如果把质数（最初只知道2是质数）的倍数都去掉，那么剩下的就是质数了。

二、步骤

（1）先把1删除（1既不是质数也不是合数）

（2）读取队列中当前最小的数2，然后把2的倍数删去

（3）读取队列中当前最小的数3，然后把3的倍数删去

（4）读取队列中当前最小的数5，然后把5的倍数删去

.......

（n）读取队列中当前最小的状态为true的数n，然后把n的倍数删去

 

 

三、实现

 

问题：给一个数n，求出比n小的所有的质数有多少个

 

思路：用一个bool数组，存储n个数的状态，初始化都为true，然后从2开始，如果2的状态为true，就开始遍历比n小的所有的2的倍数，将其全部置为false。把2的倍数遍历完后，继续往下找下一个状态为true的数，即3，遍历比n小的所有的3的倍数（按3*3，3*4，3*5这样遍历，注意不需要从3*2开始了）。.....最后剩下的状态为true的数全为质数。

 

四、代码

 

    int countPrimes(int n) {
        vector vec_flag(n,true);
        vec_flag[0] = false;
        vec_flag[1] = false;
        
        for (int i = 2; i < sqrt(n);i++){
            if(vec_flag[i]){
                for(int j = i * i;j < n;j += i){
                    vec_flag[j] = false;
                }
            }
        }
        return count(vec_flag.begin(),vec_flag.end(),true);
    }

 

 

Eratosthenes筛选法虽然效率高，但是Eratosthenes筛选法做了许多无用功，一个数会被筛到好几次，最后的时间复杂度是O(nloglogn),对于普通素数算法而言已经非常高效了,但欧拉筛选法的时间复杂度仅仅为O(n).

欧拉算法是一种空间换时间的算法。

prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。

 

 

#include 
using namespace std;

const int MAXN = 3000001;
int prime[MAXN];//保存素数 
bool vis[MAXN];//初始化 
int Prime(int n)
{
	int cnt = 0;
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	//筛选与Eratosthenes不同，并不是按照顺序筛选，但每一个合数都等于一个数字乘以它的最小素因子，所以遍历每个数字 i 乘以小于i（若大于i，则i为最小素因子）的所有素因子可以保证，每个合数都被遍历到
	for (int i = 2; i< n; i++)
	{
		if (!vis[i])
			prime[cnt++] = i;
		for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < n; j++)
		{

			cout <<"i:" << i << "  prime[j]:" << prime[j] << "  i*prime[j] : "<< i*prime[j] << endl;
			vis[i*prime[j]] = 1;
			if (i%prime[j] == 0)//关键  每一个筛选数，只被一个数乘以它的最小素因子，如果i % prime[j] == 0，则证明 i中含有prime[j]这个素因子，所以prime[j + 1] 至 prime[prime.size()-1]都不是最小素因子
				break;
		}
	}
	return cnt;//返回小于n的素数的个数 
}

 

参考地址：

 

http://blog.csdn.net/xiaoquantouer/article/details/51817803

http://www.bubuko.com/infodetail-837565.html