强连通分量(超详细!!!)

一、定义

在有向图G中,如果两个顶点u,v间有一条从u到v的有向路径,同时还有一条从v到u的有向路径,则称两个顶点强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向非强连通图的极大强连通子图,称为强连通分量

强连通分量(超详细!!!)_第1张图片

图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

二、tarjan算法 时间复杂度是O(N+M)

四条边:

树枝边:DFS时经过的边,即DFS搜索树上的边。

前向边:与DFS方向一致,从某个结点指向其某个子孙的边。

后向边:与DFS方向相反,从某个结点指向其某个祖先的边。(返祖边)

横叉边:从某个结点指向搜索树中的另一子树中的某结点的边。

 

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。 定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。 由定义可以得出,Low(u)=Min {Low(u), Low(v) } (u,v)为树枝边,u为v的父节点 . Low(u)=Min {Low(u), DFN(v) } DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(指向栈中结点的横叉边) } 当结点u搜索结束后,若DFN(u)=Low(u)时,则以u为根的搜索子树上所有还在栈中的节点是一个强连通分量。

算法过程:

从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量

强连通分量(超详细!!!)_第2张图片

初始化时Low[u]=DFN[u]=++index

返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量

强连通分量(超详细!!!)_第3张图片

 

返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

强连通分量(超详细!!!)_第4张图片

Low(u)=Min {Low(u), DFN(v) } DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边

 

继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

强连通分量(超详细!!!)_第5张图片

至此,算法结束。求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

强连通分量(超详细!!!)_第6张图片

三、tarjan算法用途

1、有向图的缩点

将同一个强连通分量中的点缩成同一个新结点,对于两个新结点a,b之间有边相连,当且仅当存在两个点u属于a,v属于b。

强连通分量(超详细!!!)_第7张图片

 

 强连通分量(超详细!!!)_第8张图片

2、求割点和桥

三、例题

「例 1」受欢迎的牛(信息学奥赛一本通 1513)

【题目描述】

原题来自:USACO 2003 Fall

每一头牛的愿望就是变成一头最受欢迎的牛。现在有 N 头牛,给你 M 对整数 (A,B),表示牛 A 认为牛 B 受欢迎。这种关系是具有传递性的,如果 A 认为 B 受欢迎,B 认为 C 受欢迎,那么牛 A 也认为牛 C 受欢迎。你的任务是求出有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

【输入】

第一行两个数 N,M;

接下来 M 行,每行两个数 A,B,意思是 A 认为 B 是受欢迎的(给出的信息有可能重复,即有可能出现多个 A,B)。

【输出】

输出被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的牛的数量。

【输入样例】

3 3
1 2
2 1
2 3

【输出样例】

1

【提示】

样例说明

只有第三头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

数据范围:

对于全部数据,1N104,1M5×1041≤N≤104,1≤M≤5×104。


 

强连通分量(超详细!!!)_第9张图片

 

 强连通分量(超详细!!!)_第10张图片

 

 

转载于:https://www.cnblogs.com/ljy-endl/p/11562352.html

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