组合数学（超详细！！！）

加法原理

今天您想给orz做一道题。

您有10道数学题，5道物理题，5道oi题，这些题orz都不会做。

可惜您只能用其中一道题来考orz. 请问您有多少种方法让orz爆零？

10+5+5 = 20

假设您有很多种手段，使用每种手段都可以达成目标。

那么：每种手段的方法数之和，就是达成目标的方法数。

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乘法原理

今天您想给orz做三道题：数学、物理、oi各一题。

您有10道数学题，5道物理题，5道oi题，这些题orz都不会做。

您只能在每个科目选一道题来考orz.需要让orz三道题都不会。

请问您有多少种方法让orz爆零？

10*5*5=250

如果您为了达成目标，需要几个步骤，所有的步骤都需要完成，目标才能达成。

那么完成目标的方法数是：各步骤方法数的乘积。

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 排列与组合

我们再考虑另一个问题：

有甲乙丙丁戊共5个神仙，你要从中选出三个神仙排成一排。

有多少种方法？

第一位：5种

第二位：4种

第三位：3种

记为=n!/(n-m)!

排列数

从5个女生和7个男生中，选出3个女生和3个男生排成一排。 女生站在一起，男生站在一起，且女生排在男生前面。

有多少种方法？

现在我们考虑另一个问题。

放鸽子：一共有3只鸽子，你要从中选出2只放飞。不关心选择的顺序，只关心选了哪些鸽子。

 

没有发现这个柿子，表示的就是杨辉三角？

        0 1 2 3 4

C0: 1

C1: 1 1

C2: 1 2 1

C3: 1 3 3 1

C4: 1 4 6 4 1

递推求组合数

其他排列组合

//☝证明来自：不尽相异元素的全排列问题

生成算法

现在已经存在很多种全排列算法，例如字典序算法、递增进位制算法、递减进位制算法、邻位对换法。这里介绍一下圆排列生成的算法。我们不妨用1、2、...、n来表示n个元素

对于，圆排列仅有一种。

对于，假设我们已经得到了n-1时的圆排列，我们由此序列来生成n的圆排列。

假设为n-1时的其中一个圆排列，那么我们可以将n分别插入到后，由此生成新的n-1种排列

......

 

 

对个圆排列均进行此操作，即可生成一组新的一组排列，此排列即为n时的圆排列。

算法证明

首先我们由上述算法能够得到，对于n，我们生成的排列有种排列。与圆排列的个数相等，下面我们只需要证明这个排列无重复即可。首先我们由上述构造方法可知，一定为每个圆排列的头。

下用数学归纳法证明：

1. 对于n=1，2，3时，无重复成立。

2. 假设对于n-1时，无重复成立。

3. 对于n时：

由构造方式可知，n是采取插入的方式，故由生成的n-1个序列中，n左右的两个元素均不相同。故生成的n-1个序列两两不同。

下证由不同圆排列生成的序列无重复。因为一定为每个圆排列的头，所以若两个序列重复，它们一定是完全相同的序列。(例如123 231 312为同一组圆排列，但是由于1一定为头，所以不可能出现后两种情况)

假设序列与序列重复，由上述可知：

我们去除n后得到n-1的圆排列序列，但是对于n-1，无重复序列，故矛盾。即对于n时生成的算法无重复。

即证。

举例

把n个有标号的珠子排成一个圆圈，共有多少种不同的排法？

解：这是典型的圆排列问题。对于围成圆圈的n个元素，同时按同一方向旋转，即每个元素都向左(或向右)转动一个位置，虽然元素的绝对位置发生了变化，但相对位置未变，即元素间的相邻关系未变，这样的圆排列认为是同一种，否则便是不同的圆排列。下面从三种角度推导圆排列数的计算公式。

方法一：

先令n个相异元素任意排成一行(称为线排列)，共有n!种排法，再将其首尾相接围成一圈，当圆转动一个角度时，对应另一个线排列，当每个元素又转回到原先的位置时，相当于n个不同的线排列，故圆排列数为

方法二：

先取出某一个元素k，放于圆上某确定位置，再令余下的n-1个元素作成一个线排列，首尾置于k的两侧构成一个圆排列同样可得到

方法三：

⊙x₁x₂…xk，⊙x₂x₃…x_kx₁,…，⊙x_kx₁…x_k-1都表示同一环状字，所以⊙x₁x₂…x_k=⊙x₂x₃…x_kx₁=…=⊙x_kx₁…x_k-1，有n个这样的等式，其排列数为

//以上来自：百度百科“圆排列”

证明一：（来自：360问答）

证明二：（来自：360百科）

实际上大家还应该注意到一点，就是有重复组合不考虑取出的元素的顺序，通俗来说，你第一次取出一号元素第二次取出三号元素和你第一次取出三号元素第二次取出一号元素是一样的情况;有了这点说明后可以进行证明了。可以把该过程看作是一个"放球模型";n个不同的元素看作是n个格子，去掉头尾之后中间一共有(n-1)块相同的隔板;用m个相同的小球代表取m次;则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面，问有多少种放法;注意到格子的头尾两块隔板无论什么情况下位置都是不变的，故去掉不用考虑;相当于m个相同的小球和(n-1)块相同的隔板先进行全排列:一共有(m+n-1)!种排法，再由于m个小球和(n-1)块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况:m!*(n-1)!;于是答案就是:(m+n-1)!/(m!*(n-1)!)=C(m,n+m-1)。

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排列组合常用技巧

捆绑法

有8个讲师，需要排成一排。zro和orz需要站在一起。（只需要站在一起，谁站在前面都行）,有多少种方案？

隔板法

8个讲师要站成一排，但是当局禁止zro和orz站在一起,问方案数。

我们考虑将剩下的6个讲师先排成一排。于是出现了7个空位。

我们把zro和orz放在这7个空位里的2个就行了！

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 二项式定理

将这里的视作当x=y=1时，(x+y)^10中x^10的系数，那么其余的也同理，所以上式=(1+1)^10=2^10=1024

 

【例 1】「NOIP2011」计算系数（信息学奥赛一本通 1648）

【题目描述】

给定一个多项式 (ax+by)k ，请求出多项式展开后 xnym （n+m=k）项的系数。

【输入】

输入共一行，包含 5个整数，分别为 a,b,k,n,m ，每两个整数之间用一个空格隔开。

【输出】

输出共 1行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对 10,007 取模后的结果。

【输入样例】

1 1 3 1 2

【输出样例】

3

 

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 求组合数的常规方法

//上图来自：冯志刚《初等数论》P37

 

组合（信息学奥赛一本通 1650）

【题目描述】

给出组合数 C(n,m) 表示从 n 个元素中选出 m 个元素的方案数。例如 C(5,2)=10,C(4,2)=6。可是当 n,m 比较大的时候，C(n,m)  很大。于是 xiaobo 希望你输出 C(n,m) mod p 的值。 【输入】

输入数据第一行是一个正整数 T，表示数据组数； 接下来是 T 组数据，每组数据有 3个正整数 n,m,p。

【输出】

对于每组数据，输出一个正整数，表示 C(n,m) mod p 的结果。

【输入样例】

2

5 2 3

5 2 61

【输出样例】

1 10

 

 

中国剩余定理

其中m1,m2,m3...mk 为两两互质的整数求x的最小非负整数解.

 

现在已知一个数为C(n,m)=(M*t+x)%M 求x。M=m1*m2*…*mk, mi为质数

用中国剩余定理求得的最小非负整数解即为所求x。

例题：古代猪文

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 卡特兰数

 

转载于:https://www.cnblogs.com/ljy-endl/p/11412027.html