动态规划问题系列---Labyrinth（迷宫）

题目

度度熊是一只喜欢探险的熊，一次偶然落进了一个m*n矩阵的迷宫，该迷宫只能从矩阵左上角第一个方格开始走，只有走到右上角的第一个格子才算走出迷宫，每一次只能走一格，且只能向上向下向右走以前没有走过的格子，每一个格子中都有一些金币（或正或负，有可能遇到强盗拦路抢劫，度度熊身上金币可以为负，需要给强盗写欠条），度度熊刚开始时身上金币数为0，问度度熊走出迷宫时候身上最多有多少金币？
Input
输入的第一行是一个整数T（T < 200），表示共有T组数据。
每组数据的第一行输入两个正整数m，n（m<=100，n<=100）。接下来的m行，每行n个整数，分别代表相应格子中能得到金币的数量，每个整数都大于等于-100且小于等于100。
Output
对于每组数据，首先需要输出单独一行”Case #?:”，其中问号处应填入当前的数据组数，组数从1开始计算。
每组测试数据输出一行，输出一个整数，代表根据最优的打法，你走到右上角时可以获得的最大金币数目。
Sample Input
2
3 4
1 -1 1 0
2 -2 4 2
3 5 1 -90
2 2
1 1
1 1
Sample Output
Case #1:
18
Case #2:
4

分析

到一个点 i,j 可以从上走到这，从下走到这，从右走到这。
以提供的第一组测试数据为例：
第一列，只能从上到下：
1
3
6
比较第二列第一行，只能从左面到这 就是 0
第二列第二行，从左到这 和 从上到这，最大值就是1
第二列第三行，从左到这 和 从上到这，最大值就是11
这是从上向下比较的；
接下来从下向上推：
第二列第三行，从左到这 就是11
第二列第二行，从左到这 和 从下到这，最大值就是9
第二列第一行，从左到这 和 从下到这，最大值就是8
最后，比较每一行的最大值，存到数组中
第二列第一行8
第二列第二行9
第二列第三行11
以此类推，整道题就解决了，
要注意一点，在推到的时候，从上到下和从下到上要分别算！

实现

import java.util.Scanner;


public class Num5 {

    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int[][] map;
        int T=sc.nextInt();
        for(int i=0;iint m=sc.nextInt();
            int n=sc.nextInt();

            map=new int[m+1][n+1];
            for(int k=1;k<=m;k++){
                for(int j=1;j<=n;j++){
                    map[k][j]=sc.nextInt();
                }
            }

            //计算第一列
            for(int k=2;k<=m;k++){
                map[k][1]=map[k-1][1]+map[k][1];
            }

            int[] dp1=new int[m+2];
            int[] dp2=new int[m+2];

            //从第二列开始计算
            for(int k=2;k<=n;k++){
                //计算第k列

                //初始化，用于下面的递推
                dp1[0]=dp2[0]=0;//从上向下推
                dp1[m+1]=dp2[m+1]=0;//从下向上推

                //从上到下计算
                for(int j=1;j<=m;j++){
                    dp1[j]=max(dp1[j-1],map[j][k-1])+map[j][k];
                }
                //从下到上计算
                for(int j=m;j>=1;j--){
                    dp1[j]=max(dp1[j+1],map[j][k-1])+map[j][k];
                }

                //max
                for(int j=1;j<=m;j++){
                    map[j][k]=max(dp1[j],dp2[j]);
                }
            }
            System.out.println(map[1][n]);


        }

    }

    private static int max(int i, int j) {
        return i>j?i:j;
    }

}