圆锥曲线常用结论

文章目录

  • 写在前面
  • 椭圆
    • 焦点三角形的面积
    • 焦半径公式
    • 弦长公式
    • 切线与弦直线公式
    • 其他结论
  • 双曲线
    • 焦点三角形面积
    • 焦半径公式
    • 切线直线方程
    • 其他结论

写在前面

退役OIer只能学习文化课了qwq
文化课依然那么菜
只能一些自己不是很会的东西了
(图就自己画吧qwq)

椭圆

焦点三角形的面积

S △ P F 1 F 2 = b 2 tan ⁡ θ 2 θ = ∠ F 1 P F 2 \Large {S_{\triangle PF_1F_2 = b^2 \tan_{\frac{\theta}{2}}}} \quad \small \theta = ∠F_1PF_2 SPF1F2=b2tan2θθ=F1PF2

证明
∣ P F 1 ∣ = m , ∣ P F 2 ∣ = n |PF_1|=m,|PF_2|=n PF1=m,PF2=n

∵ ∣ F 1 F 2 ∣ 2 = m 2 + n 2 − 2 m n cos ⁡ θ \large{ \because |F_1F_2|^2 = m^2+n^2-2mn\cos {\theta}} F1F22=m2+n22mncosθ

∴ ∣ F 1 F 2 ∣ 2 = ( m + n ) 2 − 2 m n ( 1 + cos ⁡ θ ) \large{ \therefore |F_1F_2|^2 = (m+n)^2 - 2mn(1+\cos \theta)} F1F22=(m+n)22mn(1+cosθ)

∴ 4 c 2 = 4 a 2 − 2 m n cos ⁡ θ \large{\therefore 4c^2 = 4a^2-2mn \cos \theta} 4c2=4a22mncosθ

∴ m n = 2 b 2 1 + cos ⁡ θ \large{\therefore mn = \frac{2b^2}{1+\cos \theta}} mn=1+cosθ2b2

∴ S △ A B C = 1 2 m n sin ⁡ θ = b 2 sin ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ = b 2 tan ⁡ θ 2 \large{\therefore S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}mn \sin \theta = \frac{b^2\sin \theta}{1+\cos \theta}= b^2 \tan{\frac{\theta}{2}}} SABC=21mnsinθ=1+cosθb2sinθ=b2tan2θ

焦半径公式

∣ M F 1 ∣ = a + e x 0 , ∣ M F 2 ∣ = a − e x 0 |MF_1| = a + ex_0, |MF_2| = a - ex_0 MF1=a+ex0,MF2=aex0
证明
过点 M M M向准线 a 2 c \frac{a^2}{c} ca2做垂线,垂足为 N N N
∵ ∣ M F 1 ∣ ∣ M N ∣ = e \large{ \because \frac{|MF_1|}{|MN|} = e } MNMF1=e

∴ ∣ M F 1 ∣ = e ∣ M N ∣ = c a × ( a 2 c − x 0 ) = a − e x 0 \large{\therefore |MF_1| = e|MN| = \frac{c}{a} \times (\frac{a^2}{c}-x_0) = a - ex_0} MF1=eMN=ac×(ca2x0)=aex0

弦长公式

d = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 = 1 + k 2 ∣ x 1 − x 2 ∣ = 1 + 1 k 2 ∣ y 1 − y 2 ∣ \large d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 +(y_1-y_2)^2} = \sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2| d=(x1x2)2+(y1y2)2 =1+k2 x1x2=1+k21 y1y2

d = e p ( 1 − e cos ⁡ θ ) 2 P 为 焦 点 到 对 应 准 线 的 距 离 \large d = \frac{ep}{(1-e\cos \theta)^2} \quad \small P为焦点到对应准线的距离 d=(1ecosθ)2epP线

切线与弦直线公式

若点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \large {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1} a2x2+b2y2=1上,则过点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)的切线方程为 x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 \large{\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1} a2x0x+b2y0y=1
若点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \large{\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1} a2x2+b2y2=1外,则过点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)做椭圆的两条切线切点为 P 1 , P 2 P1,P_2 P1,P2则弦 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2的直线方程为 x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 \large{\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}= 1} a2x0x+b2y0y=1

其他结论

证明略

  1. P P P处的切线 P T PT PT平分 ∠ F 1 P F 2 ∠F_1PF_2 F1PF2的外角
  2. 设过椭圆焦点 F F F作直线与椭圆相交 P , Q P,Q P,Q两点, A A A为椭圆长轴上一个顶点,连接 A P AP AP A Q AQ AQ分别交相应于焦点 F F F的椭圆准线于 M , N M,N M,N两点,则 M F ⊥ N F MF\perp NF MFNF

双曲线

证明基本同椭圆

焦点三角形面积

S △ P F 1 F 2 = b 2 tan ⁡ θ 2 \large S_{\triangle PF_1F_2} = \frac{b^2}{\tan \frac{\theta}{2}} SPF1F2=tan2θb2

焦半径公式

∣ P F 1 ∣ = e x 0 + a , ∣ P F 2 ∣ = e x 0 − a |PF_1| = ex_0+a,|PF_2| = ex_0-a PF1=ex0+a,PF2=ex0a

切线直线方程

若点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)在双曲线 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \large \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 a2x2b2y2=1上,过点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)作切线方程为 x x 0 a 2 − y y 0 b 2 = 1 \large \frac{xx_0}{a^2}- \frac{yy_0}{b^2}=1 a2xx0b2yy0=1
若点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)在双曲线 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \large \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 a2x2b2y2=1外,过点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)作两条切线,切点分别为 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2,则方程为 x x 0 a 2 − y y 0 b 2 = 1 \large \frac{xx_0}{a^2}- \frac{yy_0}{b^2}=1 a2xx0b2yy0=1

其他结论

1.点 P P P处的切线 P T PT PT平分 ∠ P F 1 F 2 ∠PF1F2 PF1F2在点 P P P处的内角.

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