算法与数据结构学习笔记（5）：图的最小生成树（普里姆算法和克鲁斯卡尔算法）
文章目录
- 最小生成树
- 1.普里姆算法（Prim）
- 2.克鲁斯卡尔算法（Kruskal）
最小生成树
定义：构造连通网的最小代价生成树
下面两种算法不能处理有向图，克鲁斯卡尔算法在边数少时效率高（适用与稀疏图），普里姆算法对于稠密图效率好一些。
1.普里姆算法（Prim）
（1） 算法思路
从连通网（带权连通图）的任意顶点A开始，将该顶点放入集合V中，然后从与A相连的顶点中找到一个顶点B,使得边的权值最小，将B也放入集合V中，边（A,B）就是最小生成树的一条边。接着再从顶点中找到顶点C使得C到集合V的边权值最小（即到A或B的权值最小）。按照这种步骤继续下去，直到所有的顶点都被访问过。
核心思想：MST中的顶点与非MST中顶点之间的边权重更新（由于每次递归后，总有新的顶点加入MST，此时MST顶点与非MST顶点的边权值可能会有更小值的存在，所以lowcost[i]需要更新）（必须是直连，否则权重为∞）
（2）举例说明
设置两个数组：
- lowcost[i]： 表示以i为终点的边的最小值（当lowcost[i]=0时，说明顶点i加入了最小生成树）
- mst[i]： 表示对应lowcost[i]的起点（说明边（mst[i],i）是最小生成树的一条边，mst[i]=a表示起点i加入最小生成树
）
（3）算法步骤
- 首先选则V0为起始顶点，则两个数组分别如下（mst[i]全为0是因为默认起点为V0），此时MST中的顶点有｛V0｝。
| lowcost[1] = 10 | lowcost[2] = ∞ | lowcost[3] = ∞ | lowcost[4] = ∞ | lowcost[5] = 11 | lowcost[6] = ∞ | lowcost[7] = ∞ | lowcost[8] = ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 0 | mst[3] = 0 | mst[4] = 0 | mst[5] = 0 | mst[6] = 0 | mst[7] = 0 | mst[8] = 0 |
- 显然，在所有lowcost[i]中，i = 1时边的权重最小为10（边权重为0的不计），所以V1加入MST。更新后的两个数组如下。此时MST中的顶点有｛V0、V1｝，更新MST中的所有顶点到非MST中的顶点的边权重。（此时由于V1加入了MST，所以MST到V8的边权重不再是∞，而是12，所以lowcost[8] = 12，而且这个12是从V1到V8，所以mst[8] = 1。数组其他数值的改变同理）
| lowcost[1] = 0 | lowcost[2] = 18 | lowcost[3] = ∞ | lowcost[4] = ∞ | lowcost[5] = 11 | lowcost[6] = 16 | lowcost[7] = ∞ | lowcost[8] = 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 1 | mst[3] = 0 | mst[4] = 0 | mst[5] = 0 | mst[6] = 1 | mst[7] = 0 | mst[8] = 1 |
- 此时，在更新后的lowcost[i]中，i = 5时的边权重最小，所以将V5，此时的MST顶点集合为｛V0、V1、V5｝.再用这个新的MST继续更新这两个数组。（此时，由于MST中的V5到非MST中的V4的边权重为26，比之前的∞小，故lowcost[4] = 26，mst[4] = 5。数组其他数值的改变同理）
| lowcost[1] = 0 | lowcost[2] = 18 | lowcost[3] = ∞ | lowcost[4] = 26 | lowcost[5] = 0 | lowcost[6] = 16 | lowcost[7] = ∞ | lowcost[8] = 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 1 | mst[3] = 0 | mst[4] = 5 | mst[5] = 0 | mst[6] = 1 | mst[7] = 0 | mst[8] = 1 |
- 此时，在更新后的lowcost[i]中（即3得到的新数组），i = 8时的边权重最小，所以将V8，此时的MST顶点集合为｛V0、V1、V5、V8｝.再用这个新的MST继续更新这两个数组。
| lowcost[1] = 0 | lowcost[2] = 8 | lowcost[3] = 21 | lowcost[4] = 26 | lowcost[5] = 0 | lowcost[6] = 16 | lowcost[7] = ∞ | lowcost[8] = 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 8 | mst[3] = 8 | mst[4] = 5 | mst[5] = 0 | mst[6] = 1 | mst[7] = 0 | mst[8] = 1 |
- 此时，在更新后的lowcost[i]中（即4得到的新数组），i = 2时的边权重最小，所以将V2，此时的MST顶点集合为｛V0、V1、V5、V8、V2｝.再用这个新的MST继续更新这两个数组。
| lowcost[1] = 0 | lowcost[2] = 0 | lowcost[3] = 21 | lowcost[4] = 26 | lowcost[5] = 0 | lowcost[6] = 16 | lowcost[7] = ∞ | lowcost[8] = 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 8 | mst[3] = 0 | mst[4] = 5 | mst[5] = 0 | mst[6] = 1 | mst[7] = 0 | mst[8] = 1 |
- 此时，在更新后的lowcost[i]中（即5得到的新数组），i = 6时的边权重最小，所以将V6，此时的MST顶点集合为｛V0、V1、V5、V8、V2、V6｝.再用这个新的MST继续更新这两个数组。
| lowcost[1] = 0 | lowcost[2] = 0 | lowcost[3] = 21 | lowcost[4] = 26 | lowcost[5] = 0 | lowcost[6] = 0 | lowcost[7] = 19 | lowcost[8] = 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 8 | mst[3] = 0 | mst[4] = 5 | mst[5] = 0 | mst[6] = 1 | mst[7] = 0 | mst[8] = 1 |
- 此时，在更新后的lowcost[i]中（即6得到的新数组），i = 7时的边权重最小，所以将V7，此时的MST顶点集合为｛V0、V1、V5、V8、V2、V6、V7｝.再用这个新的MST继续更新这两个数组。
| lowcost[1] = 0 | lowcost[2] = 0 | lowcost[3] = 16 | lowcost[4] = 7 | lowcost[5] = 0 | lowcost[6] = 0 | lowcost[7] = 0 | lowcost[8] = 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 8 | mst[3] = 7 | mst[4] = 7 | mst[5] = 0 | mst[6] = 7 | mst[7] = 6 | mst[8] = 1 |
- 此时，在更新后的lowcost[i]中（即7得到的新数组），i = 4时的边权重最小，所以将V4，此时的MST顶点集合为｛V0、V1、V5、V8、V2、V6、V7、V4｝.再用这个新的MST继续更新这两个数组。
| lowcost[1] = 0 | lowcost[2] = 0 | lowcost[3] = 16 | lowcost[4] = 0 | lowcost[5] = 0 | lowcost[6] = 0 | lowcost[7] = 0 | lowcost[8] = 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 8 | mst[3] = 7 | mst[4] = 7 | mst[5] = 0 | mst[6] = 1 | mst[7] = 6 | mst[8] = 1 |
- 此时，在更新后的lowcost[i]中（即8得到的新数组），i = 3时的边权重最小，所以将V3，此时的MST顶点集合为｛V0、V1、V5、V8、V2、V6、V7、V4、V3｝.此时，所有的顶点全部进入MST，说明算法结束。此时的两个数组更新为
| lowcost[1] = 0 | lowcost[2] = 0 | lowcost[3] = 0 | lowcost[4] = 0 | lowcost[5] = 0 | lowcost[6] = 0 | lowcost[7] = 0 | lowcost[8] = 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mst[1] = 0 | mst[2] = 8 | mst[3] = 7 | mst[4] = 7 | mst[5] = 0 | mst[6] = 1 | mst[7] = 6 | mst[8] = 1 |
2.克鲁斯卡尔算法（Kruskal）
（1）算法思路
Prim算法的MST是顶点的集合，Kruskal算法的MST是边的集合。首先按权重从小到大排序（权重相等，先后无所谓），将升序排列的边都对应到数组edges[i]中，先将权重最小的边edges[0]放入MST集合中，然后依次再往MST中放入edges[i]，如果要放入的edges[n]会与现有的MST中的边形成环路，则edges[n]不放入MST，就这样一直循环，直到MST集合中的边包含了所有n个顶点，并且MST边的个数为n-1（即所有顶点都连接到了一起）。
核心思想：每次要试图加入MST中的边不能与MST中的边形成环路
（2）举例说明
将邻接矩阵转化为数组，并对它们按权值从小到大排序。（如果遇到权值相等的没关系，先后无所谓）
（3）算法步骤
- 设置一个数组edges[i]，若edges[i]属于MST集合，则edges[i] = 1（相当于放入集合成功），否则为0。第一步先试图将edges[0]放入MST，无环路，放入成功（更新数组如下），此时MST集合为｛edges[0]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7｝。
| edges[0] = 1 | edges[1] = 0 | edges[2] = 0 | edges[3] = 0 | edges[4] = 0 | edges[5] = 0 | edges[6] = 0 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
|---|
- 再试图将edges[1]放入MST，无环路，放入成功（更新数组如下），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8｝。
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 0 | edges[3] = 0 | edges[4] = 0 | edges[5] = 0 | edges[6] = 0 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
|---|
- 再试图将edges[2]放入MST，无环路，放入成功（更新数组如下），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]、edges[2]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8、V0、V1｝。
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 1 | edges[3] = 0 | edges[4] = 0 | edges[5] = 0 | edges[6] = 0 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
|---|
- 再试图将edges[3]放入MST，无环路，放入成功（更新数组如下），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]、edges[2]、edges[3]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8、V0、V1、V5｝。
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 1 | edges[3] = 1 | edges[4] = 0 | edges[5] = 0 | edges[6] = 0 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
|---|
- 再试图将edges[4]放入MST，无环路，放入成功（更新数组如下），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]、edges[2]、edges[3]、edges[4]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8、V0、V1、V5、V8｝。
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 1 | edges[3] = 1 | edges[4] = 1 | edges[5] = 0 | edges[6] = 0 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
|---|
- 再试图将edges[5]放入MST，无环路，放入成功（更新数组如下），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]、edges[2]、edges[3]、edges[4]、edges[5]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8、V0、V1、V5、V3｝。
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 1 | edges[3] = 1 | edges[4] = 1 | edges[5] = 1 | edges[6] = 0 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
|---|
- 再试图将edges[6]放入MST，无环路，放入成功（更新数组如下），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]、edges[2]、edges[3]、edges[4]、edges[5]、edges[6]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8、V0、V1、V5、V3、V6｝。
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 1 | edges[3] = 1 | edges[4] = 1 | edges[5] = 1 | edges[6] = 1 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
|---|
- 再试图将edges[7]放入MST，此时edges[7]与MST集合中的边形成了环路，故放入失败（数组不更新），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]、edges[2]、edges[3]、edges[4]、edges[5]、edges[6]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8、V0、V1、V5、V3、V6｝。
矫正：下图中V3和V6的边不加粗
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 1 | edges[3] = 1 | edges[4] = 1 | edges[5] = 1 | edges[6] = 1 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
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- 再试图将edges[8]放入MST，此时edges[8]与MST集合中的边形成了环路，故放入失败（数组不更新），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]、edges[2]、edges[3]、edges[4]、edges[5]、edges[6]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8、V0、V1、V5、V3、V6｝。
矫正：下图中V3和V6的边不加粗
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 1 | edges[3] = 1 | edges[4] = 1 | edges[5] = 1 | edges[6] = 1 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 0 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
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- 再试图将edges[9]放入MST，无环路，放入成功（更新数组如下），此时MST集合为｛edges[0]、edges[1]、edges[2]、edges[3]、edges[4]、edges[5]、edges[6]、edges[9]｝，包含的顶点集合为｛V4、V7、V2、V8、V0、V1、V5、V3、V6｝。（此时MST中边的个数为 9 - 1 = 8，说明算法结束）
| edges[0] = 1 | edges[1] = 1 | edges[2] = 1 | edges[3] = 1 | edges[4] = 1 | edges[5] = 1 | edges[6] = 1 | edges[7] = 0 | edges[8] = 0 | edges[9] = 1 | edges[10] = 0 | edges[11] = 0 | edges[12] = 0 | edges[13] = 0 | edges[14] = 0 |
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