数据结构-二路归并及归并排序

一、介绍：

归并排序（Merge sort）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。

该算法的核心思想是二路归并。

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二、二路归并介绍

<1>在归并的过程中步骤如下：

①设定两个指针（不一定非是指针，只需要记住对应开始下标即可），最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置；

②比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置；

③重复步骤3直到某一指针达到序列尾；

④将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾；

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<2>例如：将a1,a2两个有序数列合并为一个序列。

void Merge(int* a1, int a1size, int* a2, int a2size, int* res)
{
    //合并两个有序序列a1 a2 结果保存在res数组中
    int a1_index, a2_index, res_index;
    a1_index = a2_index = res_index = 0;
    while (a1_index < a1size && a2_index < a2size)
    {
        if (a1[a1_index] < a2[a2_index])
            res[res_index++] = a1[a1_index++];
        else
            res[res_index++] = a2[a2_index++];
    }

    //将a1或a2剩余部分插入到res
    while (a1_index < a1size)
        res[res_index++] = a1[a1_index++];
    while (a2_index < a2size)
        res[res_index++] = a2[a2_index++];
}

int main()
{
    int a1[] = { 2,3,5 };
    int a2[] = { 2,9 };
    int a1size = sizeof(a1) / sizeof(a1[0]);
    int a2size = sizeof(a2) / sizeof(a2[0]);
    int a3size = a1size + a2size;
    int* a3 = new int[a3size];

    Merge(a1, a1size, a2, a2size, a3);

    for (int i = 0; i < a3size; i++)
        cout << a3[i] << " " << endl;

    system("pause");
    return 0;
}

输出结果为：2 2 3 5 9

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<3>图解二路归并：

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三、归并排序主体思想：

1. Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。

2. Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。

3. Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

简而言之就是将整个数组划分到不能再划分为止，划分的过程可以通过递归来实现而，再依次进行归并操作，在归并的过程中，借助另一个数组来暂时存放该区间排序后的结果，再拷贝回原数组。来张图形象的理解下：

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四、代码实现及测试：

#include 

using namespace std;

//将子序列归并为一个完整序列
void Merge(int* a, int first, int mid, int last, int* res)
{
    //将a[first mid] a[mid+1 last]排序合并
    int first_start = first, first_end = mid;
    int second_start = mid + 1, second_end = last;
    int res_index = 0;
    while (first_start <= mid && second_start <= last)
    {
        if (a[first_start] < a[second_start])
            res[res_index++] = a[first_start++];
        else
            res[res_index++] = a[second_start++];
    }

    while (first_start <= mid)
        res[res_index++] = a[first_start++];

    while (second_start <= last)
        res[res_index++] = a[second_start++];

    //拷贝回原来的空间
    for (int i = 0; i < res_index; i++)
        a[first + i] = res[i];
}

//递归不断划分区间
void merge_sort(int* a, int first, int last, int* res)
{
    if (first >= last)
        return;

    int mid = (first + last) / 2;
    merge_sort(a, first, mid, res);     //左边有序    
    merge_sort(a, mid + 1, last, res);  //右边有序    
    Merge(a, first, mid, last, res);    //将左右两个有序数列进行排序归并
}


bool MergeSort(int a[], int n)
{
    int *res = new int[n];
    if (res == NULL)
        return false;
    merge_sort(a, 0, n - 1, res);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cout << a[i] << " ";

    delete[] res;
    return true;
}


int main()
{
    int a[] = {3,2,5,9,2};
    MergeSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));

    system("pause");
    return 0;
}

输入结果为：2 2 3 5 9

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五：图示整个归并排序过程：

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六、优化思路

由于使用递归的方式将数组划分到不能再划分为止，再依次进行排序后归并，栈帧开销非常大，可以采用小区间优化的方式，在划分的过程中判断子序列的元素个数，若小于10（可根据情况而定），可利用插入排序来直接完成此段空间的排序过程。这样一来就可以减少递归次数，尤其是当数据量变大时就会很明显（插入排序讲解参考插入排序讲解）

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七、非递归实现

非递归实现中，就不需要先划分为一个再归并，而是直接可以归并两个元素，然后四个，八个…，假如数组为6,2,8,1,5,4，非递归过程图示如下：

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代码实现：

void Merge(int* a, int first, int mid, int last, int* res)
{
    //将a[first mid] a[mid+1 last]排序合并
    int first_start = first, first_end = mid;
    int second_start = mid + 1, second_end = last;
    int res_index = 0;
    while (first_start <= mid && second_start <= last)
    {
        if (a[first_start] < a[second_start])
            res[res_index++] = a[first_start++];
        else
            res[res_index++] = a[second_start++];
    }

    while (first_start <= mid)
        res[res_index++] = a[first_start++];

    while (second_start <= last)
        res[res_index++] = a[second_start++];

    //拷贝回原来的空间
    for (int i = 0; i < res_index; i++)
        a[first + i] = res[i];
}

//len为数组元素个数
void MergeSortNR(int* a,int len)
{
    int size = 1; //size为一半部分的元素个数
    int left, right, mid;
    left = right = mid = 0;
    int* tmp = new int[len];

    while (size <= len - 1)
    {
        left = 0;
        while (left + size <= len -1)
        {
            //mid等于left+子序列一半的个数-1;
            mid = left + size - 1;
            right = mid + size;

            //若right超出数组范围，right=最后一个元素下标
            if (right > len - 1)
                right = len - 1;

            Merge(a, left, mid, right, tmp);
            left = right + 1;
        }
        size *= 2;
    }
}