递归算法学习系列之八皇后问题

转自

http://www.cnblogs.com/jillzhang/archive/2007/10/21/922830.html

 

1.引子

   中国有一句古话，叫做“不撞南墙不回头"，生动的说明了一个人的固执，有点贬义，但是在软件编程中，这种思路确是一种解决问题最简单的算法，它通过一种类 似于蛮干的思路，一步一步地往前走，每走一步都更靠近目标结果一些，直到遇到障碍物，我们才考虑往回走。然后再继续尝试向前。通过这样的波浪式前进方法， 最终达到目的地。当然整个过程需要很多往返，这样的前进方式，效率比较低下。

2.适用范围

   适用于那些不存在简明的数学模型以阐明问题的本质，或者存在数学模型，但是难于实现的问题。

3.应用场景

   在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图所示：

4.分析

  基本思路如上面分析一致，我们采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些 规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在纵向不能有两个皇后)

2)  y=col（横向）

3）col + row = y+x;（斜向正方向）

4)  col - row = y-x;（斜向反方向）

遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组 合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后 攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:

第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的 皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第 四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同， 但是第8列仍然没有找到安全位置为止

总结一下，用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向

量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList[col],col),如上图中的几个皇后可表示为：

queenList[0] = 0;  queenList[1] = 3;   queenList[2] = 1;  queenList[3] = 4;   queenList = 2;

我们看一下如何设计程序:

首先判断(row,col)是否是安全位置的算法：

   bool  IsSafe( int  col, int  row, int [] queenList)
         {
             // 只检查前面的列
             for  ( int  tempCol  =   0 ; tempCol  <  col; tempCol ++ )
             {
                 int  tempRow  =  queenList[tempCol];
                 if  (tempRow  ==  row)
                 {
                     // 同一行
                     return   false ;
                }
                 if  (tempCol  ==  col)
                 {
                     // 同一列
                     return   false ;
                }
                 if  (tempRow  -  tempCol  ==  row  -  col  ||  tempRow  +  tempCol  ==  row  +  col)
                 {
                     return   false ;
                }
            }
             return   true ;
        }

设定一个函数，用于查找col列后的皇后摆放方法：

/**/ ///  

         ///  在第col列寻找安全的row值
         ///  

         ///  
         ///  
         ///  
         public   bool  PlaceQueue( int [] queenList,  int  col)
         {
             int  row  =   0 ;
             bool  foundSafePos  =   false ;
             if  (col  ==   8 )  // 结束标志
             {
                 // 当处理完第8列的完成
                foundSafePos  =   true ;
            }
             else
             {
                 while  (row  <   8   &&   ! foundSafePos)
                 {
                     if  (IsSafe(col, row, queenList))
                     {
                         // 找到安全位置
                        queenList[col]  =  row;
                         // 找下一列的安全位置
                        foundSafePos  =  PlaceQueue(queenList, col  +   1 );
                         if  ( ! foundSafePos)
                         {
                            row ++ ;
                        }
                    }
                     else
                     {
                        row ++ ;
                    }
                }
            }
             return  foundSafePos;
        }

调用方法：

  static   void  Main( string [] args)
         {
            EightQueen eq  =   new  EightQueen();
             int [] queenList  =   new   int [ 8 ];
             for  ( int  j  =   0 ; j  <   8 ; j ++ )
             {
                Console.WriteLine( " ----------------- " + j + " --------------------- " );
                queenList[ 0 ]  =  j;
                 bool  res  =  eq.PlaceQueue(queenList,  1 );

                 if  (res)
                 {
                    Console.Write( "     " );       
                     for  ( int  i  =   0 ; i  <   8 ; i ++ )
                     {
                        Console.Write( "   "   +  i.ToString()  +   "   " );       
                    }
                    Console.WriteLine( "" );
                     for  ( int  i  =   0 ; i  <   8 ; i ++ )
                     {
                        Console.Write( "   " + i.ToString() + "   " );                       
                         for  ( int  a  =   0 ; a  <   8 ; a ++ )
                         {                           
                             if  (i  ==  queenList[a])
                             {
                                Console.Write( "  q  " );
                            }
                             else
                             {
                                Console.Write( "  *  " );
                            }
                        }
                        Console.WriteLine( "" );
                                
                    }
                  
                    Console.WriteLine( " --------------------------------------- " );
                }
                 else
                 {
                    Console.WriteLine( " 不能完成棋局，棋局失败！ " );
                }
            }
            Console.Read();
        }

递归算法PlaceQueue ,完成这样的功能：它寻找第col列后的皇后的安全摆放位置，如果该函数返回了false,表示当前进入了死胡同，需要进行回溯，直到为0-7列都找

到了安全位置或者找遍这些列都找不到安全位置的时候终止。