八皇后问题

因为之前面试了一家公司考到了八皇后问题，所以这里再总结一下八皇后问题的思想和解法。

经典算法题目

题目：——从64个格子中选8个格子，任意2个格子都不在同一行、同一列或同一个对角线上——

根据组合数学：C64 取8，一共有4.426×10的9次方种方案

不难发现，每一行只能放一个皇后，所以8！=40320种方案

然后在40320种方案中，挑选符合题意的方案！

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若使用  int Q[8][8];  存储八皇后的数据，看起来比较直观，但是深入思考一下，每一行只存放1个数据，这样会造成空间的浪费，所以可使用  int Q[10];    来存储八个皇后的位置，比如    Q[0]：第0行皇后的列数    Q[1]：第1行皇后的列数 ....

方法一：

每次进入solve函数时，都需要计算前面的皇后，对当前行的影响，比如上图：走到第三行时需确认哪些列不可走，然后再选取可走的列数存储到Q[2]中

#include 
#include 
using namespace std;
// 八皇后问题 

int Q[10];		// Q[行] = 列 
int const size = 8;
int sum = 0;
void solve(int n, int i)	// 一共n行，目前要走第i行的位置 
{
	if(i >= size)
	{
		sum++;
		for(int j = 0; j < n; j++)
			cout << "(" << j+1 << "," << Q[j]+1 << ")";
		cout << endl;
		return;
	}
	int ok[size];	// 目前情况下, ok[列]是否可以走 
	memset(ok, 0, sizeof(ok));		// 可走为 0	,不可走为 1 
	for(int j = 0; j < i; j++)	// j ~ i-1 行 
	{
		int x = Q[j];	// 第j行的皇后在第x列 
		ok[x] = 1;
		int k = i - j;
		if(k < 0)
			k = -k;
		if(x-k >= 0)
			ok[x-k] = 1;
		if(x+k < size)
			ok[x+k] = 1;
	}
	
	for(int j = 0; j < n; j++)		// i行 j列   枚举0~n-1列 
	{
		if(ok[j])
			continue;
		Q[i] = j;	// 下一个会把参数覆盖了 
		solve(n, i+1);
	}
}

int main()
{
	memset(Q, 0, sizeof(Q));
	solve(size, 0);
	cout << "sum: " << sum << endl;		// 八皇后问题共有92种解法 
	return 0;
}

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方法二：

在验证正对角线和次对角线的方法上与方法一有差异，

行号-列号之差相等: 在同一条正对角线 ( 左上角到右下角的斜线 )
行号+列号之和相等: 在同一条次对角线 ( 右上角到左下角的斜线上 )

#include 
using namespace std;

int n, tot;
int C[8];
void search(int cur)
{
	if(cur == n)
		tot++;			// 递归边界. 只要走到这里,所有皇后必然不冲突 
	else
		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			int ok = 1;
			C[cur] = i;		// 先尝试把第cur行的皇后放在第i列 
			for(int j = 0; j < cur; j++)	// 0~cur-1行验证 
				// 验证列:第j行的列是否等于第cur行的列 
				// 验证对角线: 行-列的差是否相等  行+列的和是否相等 
				if(C[cur] == C[j] || cur-C[cur] == j-C[j] || cur+C[cur] == j+C[j])
				{	// 再验证放的位置是否符合要求 
					ok = 0;
					break;
				}
			if(ok)
				search(cur+1);
		}
}

int main()
{
	n = 8;
	tot = 0;
	search(0);
	printf("sum: %d\n", tot);
	return 0;
}

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方法三：

改进了效率，不需要每走到新的一行都确认前面皇后的列数

使用 vis[3][16] ：[0]标记列，[1]标记次对角线，[2]标记正对角线

把整个棋盘分开4种情况考虑重复问题：行、列、正对角线、次对角线

所以，只需保证这4种情况不重复，即是满足题目要求

#include 
#include 
using namespace std;
// 八皇后问题:  回溯法 

int n, tot;
int C[8];
int vis[3][16];

void search(int cur)
{
	if(cur == n)
		tot++;
	else
		for(int i = 0; i < n; i++)		// 枚举第cur行第i列 
		{
			//                  次对角线		  主对角线 
			// 验证列        右上到左下的线    左上到右下的线 
			if(!vis[0][i] && !vis[1][cur+i] && !vis[2][cur-i+n])
			{
				C[cur] = i;		// 第cur个皇后在第i列 
				vis[0][i] = vis[1][cur+i] = vis[2][cur-i+n] = 1;
				search(cur+1);
				vis[0][i] = vis[1][cur+i] = vis[2][cur-i+n] = 0;
			}
		}
}

int main()
{
	n = 8;
	tot = 0;
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	search(0);
	printf("sum: %d\n", tot);
	return 0;
}

若需要打印出所有情况，修改 if(cur==n){ 的内容即可 }