FisherVector编码的来龙去脉

最近在研究动作识别（Action Recognize）领域的论文和方法。在视频动作识别领域，深度学习未进入前，传统方法最好的是iDT.

IDT采用FisherVector编码的方式比ＢＯＦ（Bog of Features）提升了２％－１０％．

ＢＯＦ的编码方式，最终的视频特征维度是CodeBook的size大小。原理如图：）丑到不忍直视...

FiserVector编码方式，由两部分组成

首先是由样本分布估计ＧＭＭ（高斯混合模型）参数，

然后用ＧＭＭ模型对视频原始的iDT特征进行描述（编码）。

所以不管是ＢＯＦ还是ＦｉｓｈｅｒＶｅｃｔｏｒ都是相对于Codebook的一种描述。

GMM算法

GMM ，Gaussian Mixture Model，顾名思义，就是说该算法由多个高斯模型线性叠加 混合而成。GMM算法描述的是每一维数据的本身存在的一种分布，如果component足够多的话，GMM可以逼近任意一种概率密度分布。

我们知道，单个高斯模型的参数为均值和方差。

ＧＭＭ是一种聚类算法，Ｋ代表用多少个高斯模型去描述数据分布。也就是说每个 GMM 由Ｋ个Gaussian分布组成，每个Gaussian称为一个“Component”，这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数：

根据数据来推算概率密度通常被称作 density estimation ，特别地，当我们在已知（或假定）了概率密度函数的形式，而要估计其中的参数的过程被称作“参数估计”。表示第k个高斯模型的权重，是第k个高斯模型的均值。是第k个高斯模型的方差。

在 GMM 中，我们就需要确定 、 和 这些参数。 找到这样一组参数，它所确定的概率分布生成这些给定的数据点的概率最大，而这个概率实际上就等于 ，我们把这个乘积称作似然函数 (Likelihood Function)。通常单个点的概率都很小，许多很小的数字相乘起来在计算机里很容易造成浮点数下溢，因此我们通常会对其取对数，把乘积变成加和，得到 log-likelihood function 。接下来我们只要将这个函数最大化，通常采用ＥＭ算法。

 进行ＧＭＭ聚类后，得到的是Ｋ个高斯模型的参数，每个高斯模型的参数是 、 和 ，所以一共有３ＫＤ个参数。（其中Ｄ是原始数据的维度，因为每一个ＧＭＭ是对每一维数据特征进行生成建模的）。

FisherVector编码

     上述生成了ＧＭＭ模型后，我们就可以在此基础上对原始数据特征进行编码。

定义fisher score:
     

Ux=∇λlog p(X|λ)

X服从分布p，p的参数是λ（、 ， 　k = 1...K）在fisher kernel中，p是一个GMM，Xx1,...xD  是一个视频的特征集合（iDT中D＝４２６）．这个log似然函数对λ 的梯度，描述了参数λ 在p生成特征点集合X的过程中如何作用，所以这个fisher score中也包含了GMM生成X的过程中的一些结构化的信息。所以有一种说法，FisherVector的本质是对高斯分布求偏导。

再定义特征xt由第i个Gaussian component生成的概率：

首先对参数求偏导可得到:

X=[∂L(X|λ)∂wi,∂L(X|λ)∂μdi,∂L(X|λ)σdi]T,i=1...N.

     其中

     注意这里i是指第i个component，d是指特征xt 的第d维，偏导是对每个component，对特征每个维度都要计算，所以此时UX 的维度是(2D+1)*Ｋ，D是xt维度，Ｋ是component个数,wi是上述高斯混合模型中Gaussian 分布的权重。又由于wi 有约束∑iwi=1，所以会少一个自由变量，所以UX 最终的维度是(2D+1)*Ｋ－1.

推导到这里，视频的原始特征iDT应该变为(2D+1)*Ｋ-1维FisherVector。在iDT论文中使用的是２ＤＫ维，可能是舍弃了高斯混个模型中对权重wi的求导。

参考博客　：

http://blog.csdn.net/happyer88/article/details/46576379

http://blog.csdn.net/ikerpeng/article/details/41644197

http://blog.pluskid.org/?p=39