P2155 [SDOI2008]沙拉公主的困惑

题面

题目可简化为求:

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n!}{[gcd(i,m!)=1]}(1到n!中,所有与m!互质的数的个数) \]

如何求解:

首先假设有\(gcd(a,b) = 1\),则一定有\(gcd(a+b,b)=1\)

所以考虑把\(n!\)分为\(\frac{n!}{m!}\)块,其中\(m \leq n\),所以\(n!\) mod \(m!\) 一定等于\(0\),即我们分出的一定是整数块。

而且其中每一块中与\(m!\)互质的数的个数一定是相等的。

此时我们的式子为:

\[\frac{n!}{m!}\times\displaystyle\sum_{i=1}^{m!}[gcd(i,m!)=1] \]

其中

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m!}[gcd(i,m!)=1] \]

等等,是不是看着有点眼熟?小于等于\(m!\)的正整数中与\(m!\)互质的数的数目...不就是欧拉函数的定义吗?

那这不就是\(\varphi(m!)\)吗?

于是我们的式子就可以完美的变为:

\[\frac{n!}{m!}\times\varphi(m!) \]

因为求\(\varphi(i)\)的公式为:

\[\varphi(i)=i\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x}(p为i的所有质因数) \]

\(\varphi(i)\)换为\(\varphi(m!)\)代进\(\frac{n!}{m!}\times\varphi(m!)\)去展开:

\[\frac{n!}{m!}\times\varphi(m!)=\frac{n!}{m!}\times m!\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x} \]

于是我们的式子就可以化简为:

\[n!\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x} \]

注意此时\(p\)\(m!\)的所有质因数。

那么我们的问题就转化为求:

\[n!\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x} \]

\(n!\)好求,对于\(\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x}\)我们线性求出逆元即容易求出。

线性预处理出来\(1\)\(maxn\)的所有\(i!\)\(\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x}\)即可\(O(1)\)的询问。

时间复杂度为\(O(1e7+t)\)

由蒟蒻代码自带大常数+某谷评测机不稳定,有时候能过有时候不能过,开了\(O_2\)稳过。

代码:

#include 
using namespace std;

templatevoid read(temp &x){
	x = 0;temp f = 1;char ch;
	while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') and (f = -1);
	for(x = ch^48; isdigit(ch = getchar()); x = (x<<1)+(x<<3)+(ch^48));
	return (void)(x *= f);
}
template void read(temp& a, Args& ...args){read(a), read(args...);}

const int maxn = 1e7+10;

int t, mod, n, m, cnt, prime[maxn];
long long inv[maxn], fac[maxn], fi[maxn];
bool is_prime[maxn];

void memset_mine(){ 
	fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = fi[0] = fi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= maxn; i ++){
		fac[i] = (fac[i-1]*i)%mod, inv[i] = mod-mod/i*inv[mod%i]%mod;
		fi[i] = fi[i-1];
		if(!is_prime[i]) prime[++cnt] = i, fi[i] = (fi[i]%mod*(i-1)%mod*inv[i]%mod)%mod;
		for(int j = 1; j <= cnt and i*prime[j] <= maxn; j ++){
			is_prime[i*prime[j]] = 1;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
}

signed main(){
	read(t, mod);
	memset_mine();
	while(t --){
		read(n, m);
		printf("%lld\n", fac[n]%mod*fi[m]%mod);
	}
	return 0;
}

没啦qwq。

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