蒙特卡洛算法简介及其python实现

 

本篇简要介绍一下蒙特卡洛算法的思想以及通过两个实例简要介绍一下蒙特卡洛算法的python实现。

一.蒙特卡洛算法
1.蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛.
提出：
蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国数学家布丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。
2.基本思想
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
工作过程
蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。
蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤：
（1）构造或描述概率过程
对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过 程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
（2）实现从已知概率分布抽样
构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。
（3）建立各种估计量
一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。
数学应用：通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。

二.蒙特卡洛算法与python实例

1.首先看一个经典的蒙特卡洛方法求圆周率

   基本思想：在图中区域产生足够多的随机数点，然后计算落在圆内的点的个数与总个数的比值再乘以四，就是圆周率。

 

 

  代码实现：

M = input('请输入一个较大的整数')  #输入的数一般要很大才能保证所求结果不会与圆周率产生较大误差
N=0                              #累计落在园内的随机点的个数，初始值为零

import math
import random

for i in range(int(M)):
    x = random.random()          #利用random（）产生随机数或者是伪随机数
    y = random.random()
    if math.sqrt(x**2+y**2)<1:   #判断产生的随机点是否落在单位圆内
        N = N+1                  #对落在圆内的点进行累加

pi=4*N/int(M)

print(pi)

以下是小编运行一次的结果：

D:\PYTHON\pychrm\mypro01\venv\Scripts\python.exe D:/PYTHON/pychrm/mypro01/mypython01.py
请输入一个较大的整数1000000
3.141004

Process finished with exit code 0

可以看到，所得结果还是和圆周率很接近的。

2.python计算定积分

利用python计算函数y=x**2在[0,1]区间的定积分，其思想和上例是一样的，就不再赘述。

代码实现：

n=int(input('请输入一个较大的整数'))   #要确保输入的整数足够大

m=0                                  

import random

for i in range(n):
    x = random.random()              
    y = random.random()
    if x**2>y:                       #表示该点位于曲线y=x^2的下面
        m=m+1

R=m/n

print(R)

 以及运行结果：

D:\PYTHON\pychrm\mypro01\venv\Scripts\python.exe D:/PYTHON/pychrm/mypro01/蒙特卡洛算法计算积分.py
请输入一个较大的整数100000
0.33266

Process finished with exit code 0

最终结果还是很接近理论结果的。