有理数的戴德金分割

实数集$R$的戴德金分割

定义： 将实数集$R$分为两个子集$S$和$T$，他们满足：

1. $S\ne \varnothing$,$T\ne \varnothing$;
2. $R=S\cup T$;
3. $\forall x\in S,\forall y\in T$,总有$x<y$（称$S$为左集，$T$为右集）。

则称为实数集$R$的一个“戴德金分割”，记做$(S,T)$

戴德金定理

对于实数集$R$的任何一个戴德金分割$(A,B)$，这时或者上集$B$有最小值，或者下集$A$有最大值，这个值被称为中介点。

有理数集的分割

设$c$为正整数，且不为整数的平方。
$A=\{a\in Q|a\le 0\bigvee a^2\le c\}$
$B=\{b\in Q|b>0\bigwedge b^2>c\}$
这时$A$和$B$就是有理数集上的一个戴德金分割。

可以证明，$A$无最大数，$B$无最小数，所以有理数集上的戴德金分割不一定有中介数。

引入无理数

在上面的有理数分割中，引入无理数，就可以建立实数集$R$。也就是说在有理数集中进行戴德金分割，能够产生新的数。

而在实数集中进行戴德金分割，则不能产生新的数。

完备性公理

所以可以说戴德金定理和实数模型中的完备性公里是等同的。